Mahāvīra (matematiker)

Mahāvīra (eller Mahaviracharya , "Mahavira läraren") var en Jain -matematiker från 900-talet , möjligen född i Mysore , i Indien . Han författade Gaṇitasārasan̄graha ( Ganita Sara Sangraha ) eller kompendiet om matematikens kärna 850 e.Kr. Han var nedlåtande av Rashtrakuta -kungen Amoghavarsha . Han skilde astrologi från matematik. Det är den tidigaste indiska texten helt ägnad åt matematik. Han förklarade samma ämnen som Aryabhata och Brahmagupta tvistade om, men han uttryckte dem tydligare. Hans arbete är ett mycket synkoperat förhållningssätt till algebra och tonvikten i mycket av hans text ligger på att utveckla de tekniker som krävs för att lösa algebraiska problem. Han är högt respekterad bland indiska matematiker, på grund av hans etablering av terminologi för begrepp som liksidig och likbent triangel; romb; cirkel och halvcirkel. Mahāvīras eminens spred sig över hela södra Indien och hans böcker visade sig vara inspirerande för andra matematiker i södra Indien . Den översattes till Telugu-språket av Pavuluri Mallana som Saara Sangraha Ganitamu .

Han upptäckte algebraiska identiteter som a ³ = a ( a + b ) ( a - b ) + b ² ( a - b ) + b ³ . Han fick också reda på formeln för ⁿ C _r som [ n ( n − 1) ( n − 2) ... ( n − r + 1)] / [ r ( r − 1) ( r − 2) ... 2 * 1]. Han utarbetade en formel som approximerade arean och omkretsen av ellipser och hittade metoder för att beräkna kvadraten av ett tal och kubrötter av ett tal. Han hävdade att kvadratroten ur ett negativt tal inte existerar.

Regler för nedbrytning av bråk

Mahāvīras Gaṇita-sāra-saṅgraha gav systematiska regler för att uttrycka ett bråk som summan av enhetsbråk . Detta följer användningen av enhetsbråk i indisk matematik under den vediska perioden, och Śulba Sūtras ' ger en approximation av √ 2 ekvivalent med $1+{ \tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}$ .

I Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS) heter det andra avsnittet i kapitlet om aritmetik kalā-savarṇa-vyavahāra (lett. "driften för reduktion av bråk"). I detta bhāgajāti -sektionen (verserna 55–98) regler för följande:

För att uttrycka 1 som summan av n enhetsbråk (GSS kalāsavarṇa 75, exempel i 76):

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ / dvidśaḥ / dvidśvitryaṃdi

när resultatet är ett, nämnarna för de kvantiteter som har en som täljare är [den tal] som börjar med ett och multipliceras med tre, i ordning. Den första och den sista multipliceras med två respektive två tredjedelar.

1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{ \frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1 }{{\frac {2}{3}}\cdot 3^{n-1}}}

För att uttrycka 1 som summan av ett udda antal enhetsbråk (GSS kalāsavarṇa 77):

1={\frac {1}{2 \cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}

För att uttrycka ett enhetsbråk $1/q$ som summan av n andra bråk med givna täljare $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ (GSS kalāsavarṇa 78, exempel i 79):

{\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1 })}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n- 1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n }}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}

För att uttrycka vilket bråk som helst $p/q$ som summan av enhetsbråk (GSS kalāsavarṇa 80, exempel i 81):

Välj ett heltal i så att

{\tfrac {q+i}{p}}

är ett heltal r , skriv sedan

{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}} och upprepa processen för den andra termen,

rekursivt . (Observera att om i alltid väljs för att vara det minsta sådana heltal, är detta identiskt med den giriga algoritmen för egyptiska bråk . )