Lumer–Phillips sats

Inom matematik är Lumer –Phillips-satsen, uppkallad efter Günter Lumer och Ralph Phillips , ett resultat i teorin om starkt kontinuerliga semigrupper som ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för en linjär operator i ett Banach-rum att generera en sammandragningssemigrupp .

Uttalande av satsen

Låt A vara en linjär operator definierad på ett linjärt delrum D ( A ) i Banachrymden X. Sedan genererar A en sammandragningssemigrupp om och endast om

1. D ( A ) är tät i X ,
2. A är stängd ,
3. A är dissipativ , och
4. ₀₀ A − λ I är surjektiv för vissa λ > 0, där I betecknar identitetsoperatorn .

En operatör som uppfyller de två sista villkoren kallas maximalt dissipativ.

Varianter av satsen

Reflexutrymmen

Låt A vara en linjär operator definierad på ett linjärt delrum D ( A ) av det reflexiva Banachrummet X . Sedan genererar A en sammandragningssemigrupp om och endast om

1. A är dissipativ , och
2. ₀₀0 A − λ I är surjektiv för vissa λ > , där I betecknar identitetsoperatorn .

Observera att villkoren att D ( A ) är tät och att A är stängd försvinner i jämförelse med det icke-reflexiva fallet. Detta beror på att de i det reflexiva fallet följer av de andra två villkoren.

Dissipativitet av adjointen

Låt A vara en linjär operator definierad på ett tätt linjärt delrum D ( A ) av det reflexiva Banachrummet X . Sedan genererar A en sammandragningssemigrupp om och endast om

• A är stängd och både A och dess adjoint operator A ^∗ är dissipativa .

Om X inte är reflexivt är detta villkor för A att generera en sammandragningssemigrupp fortfarande tillräckligt, men inte nödvändigt.

Kvasikontraktionssemigrupper

Låt A vara en linjär operator definierad på ett linjärt delrum D ( A ) i Banachrummet X. Sedan genererar A en kvasikontraktionssemigrupp om och endast om

1. D ( A ) är tät i X ,
2. A är stängd ,
3. A är kvasidissipativ , dvs det finns en ω ≥ 0 så att A − ωI är dissipativ , och
4. ₀₀ A − λ I är surjektiv för vissa λ > ω , där I betecknar identitetsoperatorn .

Exempel

• Betrakta H = L ² ([0, 1]; R ) med dess vanliga inre produkt, och låt Au = u ′ med domän D ( A ) lika med funktionerna u i Sobolev-rummet H ¹ ([0, 1]; R ) med u (1) = 0. D ( A ) är tät. Dessutom, för varje u i D ( A ),

$\langle u,Au\ rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\ leq 0,$

så att A är dissipativ. Den ordinarie differentialekvationen u' − λu = f , u (1) = 0 har en unik lösning u i H ¹ ([0, 1]; R ) för vilken som helst f i L ² ([0, 1]; R ), nämligen

$u(x)={\rm {e}}^{\lambda x}\int _{1}^ {x}{\rm {e}}^{-\lambda t}f(t)\,dt$

så att surjektivitetsvillkoret är uppfyllt. Genom den reflexiva versionen av Lumer–Phillips sats A därför en sammandragningssemigrupp.

Det finns många fler exempel där en direkt tillämpning av Lumer–Phillips sats ger önskat resultat.

I samband med översättnings-, skalnings- och störningsteori är Lumer–Phillips-satsen det viktigaste verktyget för att visa att vissa operatorer genererar starkt kontinuerliga semigrupper . Följande är ett exempel.

• En normal operator (en operator som pendlar med sin adjoint) på ett Hilbert-utrymme genererar en starkt kontinuerlig halvgrupp om och bara om dess spektrum är begränsat uppifrån.

Anteckningar

•   Lumer, Günter & Phillips, RS (1961). "Dissipativa operatorer i ett Banach-utrymme" . Pacific J. Math . 11 : 679-698. doi : 10.2140/pjm.1961.11.679 . ISSN 0030-8730 .
•   Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). En introduktion till partiella differentialekvationer . Texter i tillämpad matematik 13 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. sid. 356. ISBN 0-387-00444-0 .
• Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), Enparameters semigrupper för linjära evolutionekvationer , Springer
• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Vektorvärderade Laplace Transforms and Cauchy Problems , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stabilitet och stabilisering av oändliga dimensionella system med applikationer , Springer