Linjekoordinater

Inom geometri används linjekoordinater för att specificera positionen för en linje precis som punktkoordinater (eller helt enkelt koordinater ) används för att specificera positionen för en punkt.

Linjer i planet

Det finns flera möjliga sätt att ange positionen för en linje i planet. Ett enkelt sätt är genom paret ( m , b ) där linjens ekvation är y = mx + b . Här är m lutningen och b är y -avsnittet . Detta system specificerar koordinater för alla linjer som inte är vertikala. Det är dock vanligare och enklare algebraiskt att använda koordinater ( l , m ) där linjens ekvation är lx + my + 1 = 0. Detta system specificerar koordinater för alla linjer utom de som går genom origo. De geometriska tolkningarna av l och m är de negativa reciproka av x- respektive y - avsnittet.

Exkluderingen av linjer som passerar genom origo kan lösas genom att använda ett system med tre koordinater ( l , m , n ) för att specificera linjen med ekvationen lx + my + n = 0. Här kanske inte l och m båda är 0. I denna ekvation är endast förhållandena mellan l , m och n signifikanta, med andra ord om koordinaterna multipliceras med en skalär som inte är noll så förblir den representerade linjen densamma. Så ( l , m , n ) är ett system av homogena koordinater för linjen.

Om punkter i det verkliga projektiva planet representeras av homogena koordinater ( x , y , z ) , är linjens ekvation lx + my + nz = 0, förutsatt ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . I synnerhet representerar linjekoordinaten (0, 0, 1) linjen z = 0, som är linjen vid oändligheten i det projektiva planet . Linjekoordinater (0, 1, 0) och (1, 0, 0) representerar x- respektive y - axlarna.

Tangentialekvationer

Precis som f ( x , y ) = 0 kan representera en kurva som en delmängd av punkterna i planet, representerar ekvationen φ( l , m ) = 0 en delmängd av linjerna på planet. Uppsättningen av linjer på planet kan i abstrakt mening ses som uppsättningen av punkter i ett projektivt plan, dualen av det ursprungliga planet. Ekvationen φ( l , m ) = 0 representerar då en kurva i dubbelplanet.

För en kurva f ( x , y ) = 0 i planet bildar tangenterna till kurvan en kurva i det dubbla rummet som kallas den dubbla kurvan . Om φ( l , m ) = 0 är ekvationen för den dubbla kurvan, så kallas den tangentialekvationen , för den ursprungliga kurvan. En given ekvation φ( l , m ) = 0 representerar en kurva i det ursprungliga planet bestämt som enveloppen för de linjer som uppfyller denna ekvation. På liknande sätt, om φ( l , m , n ) är en homogen funktion så representerar φ( l , m , n ) = 0 en kurva i det dubbla utrymmet som ges i homogena koordinater, och kan kallas den homogena tangentiella ekvationen för den envelopperade kurvan .

Tangentialekvationer är användbara i studiet av kurvor definierade som kuvert, precis som kartesiska ekvationer är användbara i studiet av kurvor definierade som loci.

Tangentialekvation för en punkt

En linjär ekvation i linjekoordinater har formen al + bm + c = 0, där a , b och c är konstanter. Antag att ( l , m ) är en linje som uppfyller denna ekvation. Om c inte är 0 så är lx + my + 1 = 0, där x = a / c och y = b / c , så varje linje som uppfyller den ursprungliga ekvationen passerar genom punkten ( x , y ). Omvänt, vilken linje som helst genom ( x , y ) uppfyller den ursprungliga ekvationen, så al + bm + c = 0 är ekvationen för uppsättningen av linjer genom ( x , y ). För en given punkt ( x , y ) är ekvationen för linjeuppsättningen lx + my + 1 = 0, så detta kan definieras som den tangentiella ekvationen för punkten. På liknande sätt, för en punkt ( x , y , z ) som ges i homogena koordinater, är ekvationen för punkten i homogena tangentiella koordinater lx + my + nz = 0.

Formler

Skärningspunkten mellan linjerna ( l ₁ , m ₁ ) och ( l ₂ , m ₂ ) är lösningen på de linjära ekvationerna

l_{1}x+m_{1}y+1=0

l_{2}x+ m_{2}y+1=0.

Enligt Cramers regel är lösningen

x={\frac {m_{1}-m_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}},\,y=-{\frac {l_ {1}-l_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}}.

Linjerna ( l ₁ , m ₁ ), ( l ₂ , m ₂ ) och ( l ₃ , m ₃ ) är samtidiga när determinanten

{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&1\\l_{2}&m_{2}&1\\l_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}}= 0.

är skärningspunkten mellan linjerna ( l ₁ , m ₁ , n ₁ ) och ( l ₂ , m ₂ , n _{2 )}

(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\,l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2},\,l_{1}m_{ 2}-l_{2}m_{1}).

Linjerna ( l ₁ , m ₁ , n ₁ ), ( l ₂ , m ₂ , n ₂ ) och ( l ₃ , m ₃ , n ₃ ) är samtidiga när determinanten

{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{ 3}\end{vmatrix}}=0.

är koordinaterna för linjen som innehåller ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) och ( x ₂ , y ₂ , z _{2 )}

(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{ 2}-x_{2}y_{1}).

Linjer i tredimensionellt utrymme

För två givna punkter i det reella projektiva planet , ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) och ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), de tre determinanterna

y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}, \,x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}

bestämma projektivlinjen som innehåller dem.

På liknande sätt, för två punkter i RP ³ , ( x ₁ , y ₁ , z ₁ , w ₁ ) och ( x ₂ , y ₂ , z ₂ , w ₂ ), bestäms linjen som innehåller dem av de sex determinanterna

x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\,x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1},\,y_{1}z_{2 }-y_{2}z_{1},\,x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\,y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1} ,\,z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.

Detta är grunden för ett system av homogena linjekoordinater i tredimensionellt utrymme som kallas Plücker-koordinater . Sex tal i en uppsättning koordinater representerar bara en linje när de uppfyller en ytterligare ekvation. Detta system kartlägger utrymmet av linjer i tredimensionellt rymden till projektivt utrymme RP ⁵ , men med det ytterligare kravet motsvarar linjeutrymmet Klein quadric , som är en mångfald av dimension fyra.

bestäms linjerna i n -dimensionellt projektivt utrymme av ett system av n ( n − 1)/2 homogena koordinater som uppfyller en uppsättning av ( n − 2)( n − 3)/2 villkor, vilket resulterar i ett mångfaldigt av dimension 2 n − 2.

Med komplexa tal

Isaak Yaglom har visat hur dubbla tal ger koordinater för orienterade linjer i det euklidiska planet, och delade komplexa tal bildar linjekoordinater för det hyperboliska planet . Koordinaterna beror på närvaron av ett ursprung och referenslinje på den. Sedan, givet en godtycklig linje, hittas dess koordinater från skärningen med referenslinjen. Avståndet s från origo till skärningspunkten och lutningsvinkeln θ mellan de två linjerna används:

$z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(1+s\epsilon )$ är dubbeltalet för en euklidisk linje, och
$z=\left(\tan {\frac {\theta }{2}}\right)(\cosh s+j\sinh s)$ är det delade komplexa talet för en linje i Lobachevski-planet.

Eftersom det finns linjer ultraparallella med referenslinjen i Lobachevski-planet behöver de också koordinater: Det finns en unik gemensam vinkelrät , säg att s är avståndet från origo till denna vinkelrät, och d är längden på segmentet mellan referensen och given rad.

$z=\left(\tanh {\frac {d}{2}}\right)(\sinh s+j\cosh s )$ betecknar den ultraparallella linjen.

Linjegeometrins rörelser beskrivs med linjära fraktionella transformationer på lämpliga komplexa plan.

Se även

Robotikkonventioner

Baker, Henry Frederick (1923), Geometrins principer. Volym 3. Solid geometri. Kvadricker, kubiska kurvor i rymden, kubiska ytor. , Cambridge Library Collection, Cambridge University Press , sid. 56, ISBN 978-1-108-01779-4 , MR 2857520 . Omtryckt 2010.
Jones, Alfred Clement (1912). En introduktion till algebraisk geometri . Clarendon. sid. 390.