Ultraparallell teorem

Poincaré-skivmodell: Den rosa linjen är ultraparallell med den blå linjen och de gröna linjerna begränsar parallellt med den blå linjen.

I hyperbolisk geometri sägs två linjer vara ultraparallella om de inte skär varandra och inte begränsar parallellt .

Den ultraparallella satsen säger att varje par av (distinkta) ultraparallella linjer har en unik gemensam vinkelrät (en hyperbolisk linje som är vinkelrät mot båda linjerna).

Hilberts konstruktion

Låt r och s vara två ultraparallella linjer.

Från två olika punkter A och C på s rita AB och CB' vinkelrätt mot r med B och B' på r.

Om det händer att AB = CB', då förenar den önskade gemensamma vinkelrät mittpunkten för AC och BB' (genom symmetrin av Saccheri- fyrsidig ACB'B).

Om inte, kan vi anta AB < CB' utan förlust av allmänhet. Låt E vara en punkt på linjen s på motsatt sida av A från C. Ta A' på CB' så att A'B' = AB. Dra genom A' en linje s' (A'E') på sidan närmare E, så att vinkeln B'A'E' är densamma som vinkeln BAE. Då möter s' s i en vanlig punkt D'. Konstruera en punkt D på strålen AE så att AD = A'D'.

Sedan D' ≠ D. De är på samma avstånd från r och båda ligger på s. Så den vinkelräta bisektrisen av D'D (ett segment av s) är också vinkelrät mot r.

(Om r och s var asymptotiskt parallella snarare än ultraparallella, skulle denna konstruktion misslyckas eftersom s' inte skulle möta s. Snarare skulle s' vara asymptotiskt parallella med både s och r.)

Bevis i Poincaré halvplansmodell

Låta

$a<b<c<d$

vara fyra distinkta punkter på abskissan på det kartesiska planet . Låt $p$ och $q$ vara halvcirklar ovanför abskissan med diametrarna $ab$ respektive $cd$ . Sedan i Poincarés halvplansmodell HP representerar $p$ och ${\displaystyle q} ultraparallella linjer.$

Komponera följande två hyperboliska rörelser :

$x\to xa$

${\mbox{inversion i enhetens halvcirkel.}}$

Sedan $a\to \infty ,\quad b\to (ba)^{-1},\quad c\to (ca)^{-1},\quad d\to (da)^{-1} .$

Fortsätt nu med dessa två hyperboliska rörelser:

$x\to x-(ba)^{-1}$

$x\to \left[(ca)^{-1}-(ba)^{-1}\right]^{-1}x$

Sedan $a$ vid $\infty$ , $b\to 0$ , $c\to 1$ , $d\to z$ (säg). Den unika halvcirkeln, med centrum i origo, vinkelrät mot den ena på $1z$ måste ha en radie som tangerar den andras radie. Den räta triangeln som bildas av abskissan och de vinkelräta radierna har hypotenusa med längden ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matris}}(z+ 1)$ . Eftersom ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z-1)$ är radien för halvcirkeln på ${\ displaystyle 1z}$ , den vanliga vinkelrät sökte har radie-kvadrat

${\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.$

De fyra hyperboliska rörelserna som producerade $z$ ovan kan var och en inverteras och appliceras i omvänd ordning till halvcirkeln centrerad vid origo och radie ${\sqrt {z}}$ för att ge den unika hyperboliska linjen vinkelrät mot båda ultraparallellerna $p$ och $q$ .

Bevis i Beltrami-Klein-modellen

I Beltrami-Klein-modellen av hyperbolisk geometri:

• två ultraparallella linjer motsvarar två icke-korsande ackord .
• Polerna för dessa två linjer är respektive skärningspunkter för tangentlinjerna till gränscirkeln vid ackordens ändpunkter .
• Linjer vinkelräta mot linje l modelleras av ackord vars förlängning går genom polen på l .
• Därför drar vi den unika linjen mellan polerna för de två givna linjerna och skär den med gränscirkeln; skärningsackordet kommer att vara den önskade gemensamma vinkelrät för de ultraparallella linjerna.

Om ett av ackorden råkar vara en diameter har vi ingen pol, men i det här fallet är alla ackord vinkelräta mot diametern också vinkelräta i Beltrami-Klein-modellen, så vi drar en linje genom polen på annan linje som skär diametern i rät vinkel för att få den gemensamma vinkelrät.

Beviset kompletteras genom att visa att denna konstruktion alltid är möjlig:

• Om båda ackorden är diametrar, skär de varandra.(i mitten av gränscirkeln)
• Om endast ett av kordan är en diameter, skjuter den andra kordan ut ortogonalt ner till en sektion av den första kordan som finns i dess inre, och en linje från polen ortogonal mot diametern skär både diametern och kordan.
• Om båda linjerna inte är diametrar, kan vi förlänga tangenterna från varje pol för att producera en fyrhörning med enhetscirkeln inskriven i den. Polerna är motsatta hörn av denna fyrhörning, och ackorden är linjer dragna mellan angränsande sidor av vertexen, över motsatta hörn. Eftersom fyrhörningen är konvex, linjen mellan polerna skär de båda ackorden dragna över hörnen, och segmentet av linjen mellan ackorden definierar det nödvändiga ackordet vinkelrätt mot de två andra ackorden.

Alternativt kan vi konstruera den gemensamma vinkelrät för de ultraparallella linjerna enligt följande: de ultraparallella linjerna i Beltrami-Klein-modellen är två icke-korsande ackord. Men de skär sig faktiskt utanför cirkeln. Skärningspunktens polär är den önskade gemensamma vinkelrät.

• Karol Borsuk & Wanda Szmielew (1960) Foundations of Geometry , sidan 291.