Kaplanskys gissningar
Matematikern Irving Kaplansky är känd för att ha föreslagit många gissningar inom flera grenar av matematiken, inklusive en lista med tio gissningar om Hopf-algebror . De är vanligtvis kända som Kaplanskys gissningar .
Gruppringar
Låt K vara ett fält och G en vridningsfri grupp . Kaplanskys nolldelare gissning säger:
- Gruppringen K [ G ] innehåller inte icke-triviala nolldelare , det vill säga den är en domän .
Två relaterade gissningar är kända som Kaplanskys idempotenta gissningar :
- K [ G ] innehåller inga icke-triviala idempotenter , dvs om a 2 = a , då a = 1 eller a = 0 .
och Kaplanskys enhetsförmodan (som ursprungligen gjordes av Graham Higman och populariserades av Kaplansky):
- K [ G ] innehåller inga icke-triviala enheter , dvs om ab = 1 i K [ G ] , så är a = kg för några k i K och g i G.
Nolldivisorförmodan antyder den idempotenta gissningen och antyds av enhetsförmodan. Från och med 2021 är nolldelaren och idempotenta gissningar öppna. Enhetsförmodan motbevisades dock för områden med positiva egenskaper av Giles Gardam i februari 2021: han publicerade ett förtryck på arXiv som konstruerar ett motexempel. Fältet har karakteristik 2. (se även: Fibonacci-gruppen )
Det finns bevis på både de idempotenta och nolldelare gissningarna för stora grupper av grupper. Till exempel är nolldelarantagandet känt att gälla för alla praktiskt taget lösbara grupper och mer generellt även för alla kvarvarande torsionsfria lösbara grupper. Dessa lösningar går igenom att först fastställa slutsatsen till Atiyah-förmodan om -Betti-tal, från vilka nolldelargissningen lätt följer.
Den idempotenta gissningen har en generalisering, den Kadisons idempotenta gissningen, även känd som Kadison–Kaplansky-förmodan, för element i den reducerade gruppen C*-algebra . I den här inställningen är det känt att om Farrell-Jones gissningen gäller för K [ G ] så gör den idempotenta gissningen det också. Det senare har lösts positivt för en extremt stor grupp av grupper, inklusive till exempel alla hyperboliska grupper .
Enhetsförmodan är också känd för att hålla i många grupper, men dess dellösningar är mycket mindre robusta än de andra två. Till exempel finns det en vridningsfri 3-dimensionell kristallografisk grupp för vilken det inte är känt om alla enheter är triviala. Denna gissning är inte känd för att följa av något analytiskt uttalande som de andra två, och därför har de fall där det är känt för att hålla alla fastställts via ett direkt kombinatoriskt tillvägagångssätt som involverar den så kallade unika produktens egenskap. Av Gardams arbete som nämnts ovan är det nu känt att det inte är sant i allmänhet.
Banach algebror
Denna gissning säger att varje algebrahomomorfism från Banach-algebra C ( X ) (kontinuerliga komplexvärderade funktioner på X , där X är ett kompakt Hausdorff-utrymme ) till vilken annan Banach-algebra som helst, nödvändigtvis är kontinuerlig . Gissningen motsvarar påståendet att varje algebranorm på C ( X ) är ekvivalent med den vanliga enhetliga normen . (Kaplansky hade själv tidigare visat att varje komplett algebranorm på C ( X ) är ekvivalent med den enhetliga normen.)
I mitten av 1970-talet bevisade H. Garth Dales och J. Esterle oberoende att om man dessutom antar kontinuumhypotesens giltighet, så finns det kompakta Hausdorff-rum X och diskontinuerliga homomorfismer från C ( X ) till någon Banach-algebra, vilket ger motexempel till gissningen.
År 1976 visade RM Solovay (byggd på arbete av H. Woodin) en modell av ZFC ( Zermelo–Fraenkels uppsättningsteori + valets axiom ) där Kaplanskys gissningar är sanna. Kaplanskys gissning är alltså ett exempel på ett uttalande som inte kan avgöras i ZFC .
Kvadratiska former
År 1953 föreslog Kaplansky gissningen att ändliga värden för u -invarianter endast kan vara potenser av 2 .
År 1989 vederlagdes gissningen av Alexander Merkurjev som visade fält med u -invarianter av någon jämn m . 1999 Oleg Izhboldin ett fält med u -invariant m = 9 som var det första exemplet på en udda u -invariant. 2006 demonstrerade Alexander Vishik fält med u -invariant för alla heltal k som börjar från 3.
- HG Dales, Automatisk kontinuitet: en undersökning . Tjur. London Math. Soc. 10 (1978), nr. 2, 129-183.
- W. Lück, L 2 -Invarianter: teori och tillämpningar för geometri och K-teori . Berlin:Springer 2002 ISBN 3-540-43566-2
- DS Passman, The Algebraic Structure of Group Rings , Pure and Applied Mathematics, Wiley-Interscience, New York, 1977. ISBN 0-471-02272-1
- M. Puschnigg, Kadison-Kaplansky-förmodan för ordhyperboliska grupper . Uppfinna. Matematik. 149 (2002), nr. 1, 153-194.
- HG Dales och WH Woodin, En introduktion till oberoende för analytiker, Cambridge 1987