Cykliskt ordnad grupp

I matematik är en cykliskt ordnad grupp en mängd med både en gruppstruktur och en cyklisk ordning , så att vänster- och högermultiplikation båda bevarar den cykliska ordningen.

Cykliskt ordnade grupper studerades först på djupet av Ladislav Rieger 1947. De är en generalisering av cykliska grupper : den oändliga cykliska gruppen Z och de ändliga cykliska grupperna Z / n . Eftersom en linjär ordning inducerar en cyklisk ordning, är cykliskt ordnade grupper också en generalisering av linjärt ordnade grupper : de rationella talen Q , de reella talen R , och så vidare. Några av de viktigaste cykliskt ordnade grupperna faller inte i någon av de tidigare kategorierna: cirkelgruppen T och dess undergrupper , såsom undergruppen av rationella punkter .

Kvotienter av linjära grupper

Det är naturligt att avbilda cykliskt ordnade grupper som kvoter : man har Z n = Z / n Z och T = R / Z . Även en en gång linjär grupp som Z , när den är böjd till en cirkel, kan ses som Z 2 / Z . Rieger ( 1946 , 1947 , 1948 ) visade att denna bild är ett generiskt fenomen. För varje ordnad grupp L och vilket centralt element z som helst som genererar en samslutlig undergrupp Z av L , är kvotgruppen L / Z en cykliskt ordnad grupp. Dessutom kan varje cykliskt ordnad grupp uttryckas som en sådan kvotgrupp.

Cirkelgruppen

Świerczkowski (1959a) byggde på Riegers resultat i en annan riktning. Givet en cykliskt ordnad grupp K och en ordnad grupp L är produkten K × L en cykliskt ordnad grupp. I synnerhet, om T är cirkelgruppen och L är en ordnad grupp, så är varje undergrupp av T × L en cykliskt ordnad grupp. Dessutom kan varje cykliskt ordnad grupp uttryckas som en undergrupp av en sådan produkt med T .

I analogi med en arkimedisk linjärt ordnad grupp kan x , y man definiera en arkimedisk cykliskt ordnad grupp som en grupp som inte innehåller något par av element så att [e, x n , y ] för varje positivt heltal n . Eftersom endast positivt n beaktas är detta ett starkare tillstånd än dess linjära motsvarighet. Till exempel Z inte längre, eftersom man har [0, n , −1] för varje n .

Som en följd av Świerczkowskis bevis är varje arkimedisk cykliskt ordnad grupp en undergrupp till T själv. Detta resultat är analogt med Otto Hölders sats från 1901 att varje arkimedisk linjärt ordnad grupp är en undergrupp av R .

Topologi

Varje kompakt cykliskt ordnad grupp är en undergrupp av T .

Relaterade strukturer

Gluschankof (1993) visade att en viss underkategori av cykliskt ordnade grupper, de "projicerbara Ic-grupperna med svag enhet", är likvärdig med en viss underkategori av MV-algebror , de "projicerbara MV-algebrerna".

Anteckningar

  • Gluschankof, Daniel (1993), "Cyclic ordered groups and MV-algebras" (PDF) , Czechoslovak Mathematical Journal , 43 (2): 249–263, doi : 10.21136/CMJ.1993.128391 , hämtad 30 april 2011
  •   Hofmann, Karl H.; Lawson, Jimmie D. (1996), "A survey on totally ordered semigroups", i Hofmann, Karl H.; Mislove, Michael W. (red.), Semigroup theory and its applications: procedures of the 1994 conference to commemorating the work of Alfred H. Clifford , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 231, Cambridge University Press, s. 15–39, ISBN 978-0-521-57669-7
  •    Pecinová-Kozáková, Eliška (2005), "Ladislav Svante Rieger and His Algebraic Work", i Safrankova, Jana (red.), WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, Part I , Prag: Matfyzpress, s. 190–197, CiteSeerX 10.1.1.90.2398 , ISBN 978-80-86732-59-6
  • Świerczkowski, S. (1959a), "Om cykliskt ordnade grupper" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 161–166, doi : 10.4064/fm-47-2-161-166 , hämtad 2 maj 2016

Vidare läsning

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cyclically_ordered_group&oldid=1117583592 "