Linjärt flöde på torus

Inom matematiken , särskilt inom området för matematisk analys, känt som dynamisk systemteori , är ett linjärt flöde på torus ett flöde på den n -dimensionella torus .

\mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S ^{1}} _{n}

som representeras av följande differentialekvationer med avseende på standardvinkelkoordinaterna

\left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right):

{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\omega _{1},\quad {\frac {d\theta _{2}}{dt}}=\omega _{ 2},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\theta _{n}}{dt}}=\omega _{n}.

Lösningen av dessa ekvationer kan uttryckligen uttryckas som

\Phi _{\omega }^{t}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})=(\theta _{1}+\omega _{1}t,\theta _{2}+\omega _{2}t,\dots ,\theta _{n}+\omega _{n}t){\bmod {2}}\pi .

Om vi representerar torus som ${\displaystyle \mathbb {T^{n}} =\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}} ser vi$ att en startpunkt flyttas av flödet i riktningen $\omega =\left(\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\right)$ med konstant hastighet och när den når gränsen för den enhetliga $n$ -kuben hoppar den till den motsatta sidan av kuben.

Irrationell rotation på en 2-torus

För ett linjärt flöde på torus är antingen alla banor periodiska eller så är alla banor täta på en delmängd av $n$ -torus som är en $k$ -torus. När komponenterna i $\omega$ är rationellt oberoende är alla banor täta i hela rymden. Detta kan lätt ses i det tvådimensionella fallet: om de två komponenterna i $\omega$ är rationellt oberoende så är Poincaré-sektionen av flödet på en kant av enhetskvadraten en irrationell rotation på en cirkel och därför dess banorna är täta på cirkeln, som en konsekvens måste flödesbanorna vara täta på torusen.

Irrationell lindning av en torus

Inom topologi är en irrationell lindning av en torus en kontinuerlig injektion av en linje i en tvådimensionell torus som används för att sätta upp flera motexempel. En relaterad föreställning är Kronecker-foliationen av en torus, en foliation som bildas av mängden av alla översättningar av en given irrationell lindning.

Definition

Ett sätt att konstruera en torus är som kvotutrymmet $\mathbb {T^{2}} =\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2 }$ av ett tvådimensionellt reellt vektorrum av den additiva undergruppen av heltalsvektorer, med motsvarande projektion $\pi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {T^{2}} .$ Varje punkt i torus har som förbild en av översättningarna av kvadratgittret $\mathbb {Z} ^{2}$ i $\mathbb {R} ^{2},$ och $\pi$ faktorer genom en karta som tar vilken punkt som helst i planet till en punkt i enhetskvadraten $[0,1)^{2}$ som ges av bråkdelen av den ursprungliga punktens kartesiska koordinater. Betrakta nu en linje i $\mathbb {R} ^{2}$ som ges av ekvationen $y=kx.$ Om lutningen $k$ på linjen är rationell , då kan den representeras av en bråkdel och en motsvarande gitterpunkt av $\mathbb {Z} ^{2}.$ Det kan visas att då projektionen av denna linje är en enkel sluten kurva på en torus. Om ${\displaystyle k} däremot$ är irrationell , så kommer den inte att korsa några gitterpunkter förutom 0, vilket betyder att dess projektion på torus inte kommer att vara en sluten kurva, och begränsningen av $\pi$ på denna rad är injektiv . Dessutom kan det visas att bilden av denna begränsade projektion som ett delrum, kallad den irrationella lindningen av en torus, är tät i torusen.

Ansökningar

Irrationella lindningar av en torus kan användas för att sätta upp motexempel relaterade till monomorfismer . En irrationell lindning är ett nedsänkt delrör men inte ett regelbundet delrör av torus, vilket visar att bilden av ett grenrör under en kontinuerlig injektion till ett annat grenrör inte nödvändigtvis är ett (vanligt) delrör. Irrationella lindningar är också exempel på att submanifoldens topologi inte behöver sammanfalla med subrymdtopologin för submanifolden.

För det andra kan torus betraktas som en Lie-grupp $U(1)\ gånger U(1)$ , och linjen kan betraktas som $\mathbb {R }$ . Då är det lätt att visa att bilden av den kontinuerliga och analytiska gruppen homomorfism $x\mapsto \left(e^{ix},e^{ikx}\right )$ är inte en vanlig undergren för irrationell $k,$ även om den är en nedsänkt undergrupp och därför en Lie-undergrupp. Den kan också användas för att visa att om en undergrupp $H$ i Lie-gruppen ${\displaystyle G} inte är stängd,$ behöver inte kvoten ${\displaystyle G/H} vara ett grenrör$ och kanske till och med misslyckas med att vara ett Hausdorff-utrymme .

Se även

Helt integrerbart system – Egenskaper för vissa dynamiska system
Ergodisk teori – Matematikgren som studerar dynamiska system
Lista över topologier – Lista över konkreta topologier och topologiska rum
Kvasiperiodisk rörelse – Typ av kaotisk rörelse
Torusknut – Knut som ligger på ytan av en torus i 3-dimensionell rymd

Anteckningar

^ a: Som ett topologiskt delrum av torus är den irrationella lindningen inte en mångfald alls, eftersom den inte är lokalt homeomorf till $\mathbb {R}$ .

Bibliografi

Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introduktion till modern teori om dynamiska system . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5 .