Rationellt beroende

I matematik är en samling reella tal rationellt oberoende om inget av dem kan skrivas som en linjär kombination av de andra talen i samlingen med rationella koefficienter. En samling tal som inte är rationellt oberoende kallas rationellt beroende . Vi har till exempel följande exempel.

${\begin{matrix}{\mbox{independent}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {3,\quad {\sqrt {8}}\quad } ,1+{\sqrt {2}}} \\{\mbox{beroende}}\\\end{matris}}$

För om vi låter ${\displaystyle x=3,y={\sqrt {8}}} ,$ då $1+{\sqrt { 2}}={\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{2}}y$ .

Formell definition

De reella talen ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n sägs vara rationellt beroende om det finns heltal k ₁ , k ₂ , ... , k _n , som inte alla är noll, så att

$k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n }\omega _{n}=0.$

Om sådana heltal inte finns, sägs vektorerna vara rationellt oberoende . Detta villkor kan omformuleras enligt följande: ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n är rationellt oberoende om den enda n -tupeln av heltal k ₁ , k ₂ , ... , k _n så att

$k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\ omega _{n}=0$

är den triviala lösningen där varje k _i är noll.

De reella talen bildar ett vektorrum över de rationella talen , och detta motsvarar den vanliga definitionen av linjärt oberoende i detta vektorutrymme.

Se även

• Bakers teorem
• Dehn invariant
• Gelfond–Schneiders teorem
• Hamel grund
• Hodge gissningar
• Lindemann–Weierstrass teorem
• Linjärt flöde på torus
• Schanuels gissning

Bibliografi

•   Anatole Katok och Boris Hasselblatt (1996). Introduktion till modern teori om dynamiska system . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5 .