Lefschetz dualitet

Inom matematiken är Lefschetz-dualitet en version av Poincaré-dualitet i geometrisk topologi , som tillämpas på ett grenrör med gräns . En sådan formulering infördes av Solomon Lefschetz ( 1926 ), samtidigt som man introducerade relativ homologi , för tillämpning på Lefschetz fixpunktssats . Det finns nu många formuleringar av Lefschetz-dualitet eller Poincaré-Lefschetz-dualitet , eller Alexander-Lefschetz-dualitet .

Formuleringar

Låt M vara ett orienterbart kompakt grenrör med dimension n , med gräns $\partial (M)$ , och låt $z\in H_ {n}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )$ vara den fundamentala klassen för grenröret M . Sedan lock produkt med z (eller dess dubbla klass i kohomologi) inducerar en parning av (co) homologigrupperna för M och den relativa (co)homologin för paret $(M,\partial (M) )$ . Dessutom ger detta upphov till isomorfismer av $H^{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )$ med $H_{nk}(M;\mathbb {Z} )$ , och av $H_{k}(M,\partial ( M);\mathbb {Z} )$ med $H^{nk}(M;\mathbb {Z} )$ för alla $k$ .

Här kan $\partial (M)$ faktiskt vara tom, så Poincaré-dualitet uppträder som ett specialfall av Lefschetz-dualitet.

Det finns en version för trippel. Låt $\partial (M)$ sönderdelas till delrum A och B , själva kompakta orienterbara grenrör med gemensam gräns Z , som är skärningspunkten mellan A och B . Sedan, för varje $k$ , finns det en isomorfism

$D_{M}\colon H^{k}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,B;\mathbb {Z} ).$

Anteckningar

• "Lefschetz_duality" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•      Lefschetz, Solomon (1926), "Transformations of Manifolds with a Boundary", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , National Academy of Sciences, 12 (12): 737–739, doi : 10.1073/pnas. 12.12.737 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 84764 , PMC 1084792 , PMID 16587146