Andra kovariansderivatan

Se även: Exteriör kovariansderivat

I de matematiska grenarna av differentialgeometri och vektorkalkyl är den andra kovariansderivatan , eller den andra ordningens kovariansderivata , av ett vektorfält derivatan av dess derivata med avseende på ytterligare två tangentvektorfält .

Definition

Formellt, givet ett (pseudo)-Riemannskt grenrör ( M , g ) associerat med ett vektorknippe E → M , låt ∇ beteckna Levi-Civita-kopplingen som ges av metriska g , och beteckna med Γ( E ) utrymmet för den släta sektioner av det totala utrymmet E . Beteckna med T ^* M cotangensknippet av M . Sedan kan den andra kovariantderivatan definieras som sammansättningen av de två ∇s enligt följande:

$\Gamma (E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^{*}M\otimes E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^ {*}M\otimes T^{*}M\otimes E).$

Till exempel, givna vektorfält u , v , w , kan en andra kovariantderivata skrivas som

$(\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}=u^{c}v^ {b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}$

genom att använda abstrakt indexnotation . Det är också enkelt att verifiera det

$(\nabla _{u}\nabla _{v}w)^{a}=u^{c}\nabla _{c}v^{b}\nabla _{b}w^{a} =u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}+(u^{c}\nabla _{c}v^{b})\nabla _ {b}w^{a}=(\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}+(\nabla _{\nabla _{u}v}w)^{a}.$

Således

$\nabla _{u,v}^{2}w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{\nabla _{u}v}w.$

När torsionstensorn är noll, så att ${\displaystyle [u,v]=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u} ,$ kan vi använd detta faktum för att skriva Riemann curvature tensor som

$R(u,v)w=\nabla _{u,v}^{2}w-\nabla _{v,u}^{2}w.$

På liknande sätt kan man också erhålla den andra kovariantderivatan av en funktion f as

$\nabla _{u,v}^{2}f=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}f=\nabla _{u}\nabla _ {v}f-\nabla _{\nabla _{u}v}f.$

Återigen, för den vridningsfria Levi-Civita-anslutningen, och för alla vektorfält u och v , när vi matar funktionen f på båda sidor av

$\nabla _{u}v-\nabla _{v}u=[u,v]$

vi hittar

$(\nabla _{u}v-\nabla _{v}u)(f)=[u,v](f)=u(v(f))-v(u(f)).$ .

Detta kan skrivas om som

$\nabla _{\nabla _{u}v}f-\nabla _{\nabla _{v }u}f=\nabla _{u}\nabla _{v}f-\nabla _{v}\nabla _{u}f,$

så vi har

$\nabla _{u,v}^{2}f=\nabla _{v,u}^{2}f.$

Det vill säga, värdet av den andra kovariansderivatan av en funktion är oberoende av ordningen för att ta derivator.