Novikov ring

I matematik, givet en additiv undergrupp $\Gamma \subset \mathbb {R}$ , Novikov-ringen $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ av $\Gamma$ är subringen av $\mathbb {Z} [\![\Gamma ]\!]$ som består av formella summor $\sum n_{ \gamma _{i}}t^{\gamma _{i}}$ så att $\gamma _{1}>\gamma _{2}>\cdots$ och $\gamma _{i}\to -\infty$ . Begreppet introducerades av Sergei Novikov i tidningarna som inledde generaliseringen av Morse-teorin med en sluten enform istället för en funktion. Begreppet används bland annat inom kvantkohomologi .

Novikovringen $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ är en huvudsaklig idealdomän . Låt S vara delmängden av $\mathbb {Z} [\Gamma ]$ bestående av de med inledande term 1. Eftersom elementen i S är enhetselement av $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ , lokaliseringen $\operatorname {Nov} (\Gamma )[S^{-1}]$ av ${\ displaystyle \operatorname {Nov} (\Gamma )}$ med avseende på S är en subring av $\operatorname {Nov} (\Gamma )$ kallas den "rationella delen" av ${ \displaystyle \operatörsnamn {nov} (\Gamma )}$ ; det är också en huvudsaklig idealdomän .

Novikov nummer

Givet en jämn funktion f på ett jämnt grenrör $M$ med icke degenererade kritiska punkter, konstruerar den vanliga Morse-teorin ett frikedjekomplex $C_{*}(f)$ så att (integralen) ) rank of $C_{p}$ är antalet kritiska punkter för f i index p (kallat morsetal). Den beräknar (integral) homologin för $M$ (jfr Morsehomologi) :

$H^{*}(C_{*}(f))\cong H^{*}(M,\mathbb {Z})$

I analogi med detta kan man definiera "Novikov-tal". Låt X vara en sammankopplad polyeder med en baspunkt. Varje kohomologiklass $\xi \in H^{1}(X,\mathbb {R} )$ kan ses som en linjär funktion på den första homologigruppen $H_{1}(X,\mathbb {R})$ ; när den är sammansatt med Hurewicz-homomorfismen , kan den ses som en grupphomomorfism $\xi \colon \pi =\pi _{1}(X)\to \mathbb { R}$ . Genom den universella egenskapen ger denna karta i tur och ordning en ringhomomorfism,

$\phi _{\xi }\colon \mathbb {Z} [\pi ]\to \operatörsnamn {Nov} =\operatörsnamn {Nov} ( \mathbb {R} )$ ,

gör ${\displaystyle \operatorname {Nov} } till$ en modul över $\mathbb {Z} [\pi ]$ . Eftersom X är en ansluten polyeder, motsvarar ett lokalt koefficientsystem över den en-till-en en $\mathbb {Z} [\pi ]$ -modul. Låt $L_{\xi }$ vara ett lokalt koefficientsystem som motsvarar $\operatorname {Nov}$ med modulstrukturen given av $\phi _{\xi }$ . Homologigruppen $H_{p}(X,L_{\xi })$ är en ändligt genererad modul över $\operatorname {Nov} ,$ som är, av struktursatsen , den direkta summan av dess fria del och dess torsionsdel. Rangen för den fria delen kallas Novikov Betti-talet och betecknas med $b_{p}(\xi )$ . Antalet cykliska moduler i torsionsdelen betecknas med $q_{p}(\xi )$ . Om $\xi =0$ , är $L_{\xi }$ trivialt och $b_{p}(0)$ är det vanliga Betti-talet för X .

Analogen av Morse-ojämlikheter gäller även för Novikov-tal (jfr referensen för nu.)

Anteckningar

•    Farber, Michael (2004). Topologi för slutna enformer . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 108. American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3531-9 . Zbl 1052.58016 .
• SP Novikov, Flervärdiga funktioner och funktionaliteter: En analog till morseteorin. Sovjetisk matematik - Doklady 24 (1981), 222–226.
• SP Novikov: Hamiltons formalism och en mångvärdig analog till Morse-teorin. Russian Mathematical Surveys 35:5 (1982), 1–56.

externa länkar

• Olika definitioner av Novikov-ring?