Polarisering av en algebraisk form

Den här artikeln handlar om formler för högre graders polynom. För formel som relaterar normer till inre produkter, se Polarization identity .

I matematik , särskilt i algebra , är polarisering en teknik för att uttrycka ett homogent polynom på ett enklare sätt genom att angränsa fler variabler. Specifikt, givet ett homogent polynom, producerar polarisering en unik symmetrisk multilinjär form från vilken det ursprungliga polynomet kan återvinnas genom att utvärdera längs en viss diagonal.

Även om tekniken är bedrägligt enkel, har den tillämpningar inom många områden av abstrakt matematik: i synnerhet till algebraisk geometri , invariant teori och representationsteori . Polarisering och relaterade tekniker utgör grunden för Weyls invarianta teori.

Tekniken

De grundläggande idéerna är följande. Låt $f(\mathbf {u} )$ vara ett polynom i $n$ variabler ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right).} Antag att$ f $\displaystyle f}$ är homogen av grad ${\ displaystyle d,}$ vilket betyder att

$$f(t\mathbf {u} )=t^{d}f(\mathbf {u} )\quad {\text{ för alla }}t.$$

Låt $\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf { u} ^{(d)}$ vara en samling av obestämda med $\mathbf {u} ^{(i)}=\left(u_{1}^{(i)},u_{2}^{(i)},\ldots ,u_{n}^{(i)}\right),$ så att det finns $dn$ variabler totalt. Den polära formen av $f$ är ett polynom

$$F\left(\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)}, \ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}\right)$$

som är linjär separat i varje $\mathbf {u} ^{(i)}$ (det vill säga $F$ är multilinjär), symmetrisk i $\mathbf {u} ^{(i)},$ och sådant

$$F\left(\mathbf {u} ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {u} \right)=f(\mathbf {u} ).$$

Den polära formen av $f$ ges av följande konstruktion

$$F\left({\mathbf {u} }^{(1)},\dots ,{\mathbf {u} }^{(d)}\right)={\frac {1}{d! }}{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\dots {\frac {\partial }{\partial \lambda _{d}}}f(\lambda _{1}{\ mathbf {u} }^{(1)}+\dots +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)})|_{\lambda =0}.$$

Med andra ord är $F$ en konstant multipel av koefficienten $\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{d}$ i expansionen av $f\left(\lambda _{1}\mathbf {u} ^{(1)}+\cdots +\lambda _{d}\mathbf {u} ^{(d)}\right).$

Exempel

Ett kvadratiskt exempel. Antag att $\mathbf {x} =(x,y)$ och $f(\mathbf {x} )$ är den kvadratiska formen

$$f(\mathbf {x} )=x^{2}+3xy+2y^{2}.$$

Då är polariseringen av $f$ en funktion i $\mathbf {x} ^{(1)}=\left(x^ {(1)},y^{(1)}\right)$ och $\mathbf {x} ^{(2)}=\ left(x^{(2)},y^{(2)}\right)$ ges av

$$F\left(\mathbf {x} ^{(1)},\mathbf {x} ^{(2)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}+{ \frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y ^{(1)}y^{(2)}.$$

Mer allmänt, om $f$ är vilken kvadratisk form som helst, så överensstämmer polariseringen av $f$ med slutsatsen av polarisationsidentiteten .

Ett kubiskt exempel. Låt ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}.} Då$ ges polarisationen av ${\displaystyle f} av$

$$F\left(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{ (3)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{ (2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2} {3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.$$

Matematiska detaljer och konsekvenser

Polariseringen av ett homogent polynom av graden $d$ är giltig över vilken kommutativ ring som helst där $d!$ är en enhet. Speciellt gäller det alla fält med karakteristik noll eller vars karakteristik är strikt större än $d.$

Polarisationsisomorfismen (gradvis)

För enkelhetens skull, låt $k$ vara ett fält med karakteristisk noll och låt $A=k[\mathbf {x} ]$ vara polynomringen i $n$ variabler över $k.$ Sedan graderas A { $displaystyle A}$ efter grad , så att

$$A=\bigoplus _{d}A_{d}.$$

Polariseringen av algebraiska former inducerar sedan en isomorfism av vektorrum i varje grad

$$A_{d}\cong \operatörsnamn {Sym} ^{d}k^{n}$$

där $\operatorname {Sym} ^{d}$ är den $d$ -te symmetriska potensen av det $n$ -dimensionella rymden $k^{n}.$

Dessa isomorfismer kan uttryckas oberoende av en bas enligt följande. Om $V$ är ett ändligt dimensionellt vektorrum och $A$ är ringen av $k$ -värderade polynomfunktioner på $V$ graderade efter homogen grad, så ger polarisation en isomorfism

$$A_{d}\cong \operatörsnamn {Sym} ^{d}V^{*}.$$

Den algebraiska isomorfismen

Dessutom är polarisationen kompatibel med den algebraiska strukturen på $A,$ så att

$$A\cong \operatörsnamn {Sym} ^{\cdot }V^{*}$$

där $\operatorname {Sym} ^{\cdot }V^{*}$ är den fullständiga symmetriska algebra över $V^{*}.$

Anmärkningar

• För fält med positiv egenskap $p,$ gäller ovanstående isomorfismer om de graderade algebrorna är trunkerade vid graden $p-1.$
• Det finns generaliseringar när $V$ är ett oändligt dimensionellt topologiskt vektorrum .

Se även

• Homogen funktion – Funktion med ett multiplikativt skalningsbeteende

•   Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representations , Springer, ISBN 9780387260402 .