Kontinuerlig geometri

Inom matematiken är kontinuerlig geometri en analog till komplex projektiv geometri introducerad av von Neumann ( 1936 , 1998 ), där istället för att dimensionen av ett delrum är i en diskret mängd, ${\displaystyle 0,1,\$ , det kan vara ett element i enhetsintervallet $[0,1]$ . Von Neumann motiverades av sin upptäckt av von Neumann algebras med en dimensionsfunktion som tar ett kontinuerligt intervall av dimensioner, och det första exemplet på en kontinuerlig geometri annan än projektiv rymd var projektionerna av den hyperfinita typ II-faktorn .

Definition

Menger och Birkhoff gav axiom för projektiv geometri i termer av gittret av linjära delrum av projektivt utrymme. Von Neumanns axiom för kontinuerlig geometri är en försvagad form av dessa axiom.

En kontinuerlig geometri är ett gitter L med följande egenskaper

• L är modulärt .
• L är komplett .
• Gitteroperationerna ∧, ∨ uppfyller en viss kontinuitetsegenskap,

  ${\displaystyle (\bigwedge _{\alpha \in A}a_{\alpha } )\lor b=\bigwedge _{\alpha }(a_{\alpha }\lor b)} ​​,$ där A är en riktad mängd och om α < β så är a _α < a _β , och samma villkor med ∧ och ∨ omvänt.

• Varje element i L har ett komplement (inte nödvändigtvis unikt). Ett komplement till ett element a är ett element b med a ∧ b = 0 , a ∨ b = 1 , där 0 och 1 är de minimala och maximala elementen för L .
• L är irreducerbar: detta betyder att de enda elementen med unika komplement är 0 och 1.

Exempel

• Finitdimensionellt komplext projektivt rum, eller snarare dess uppsättning linjära delrum, är en kontinuerlig geometri, med dimensioner som tar värden i den diskreta mängden { , $displaystyle \{0,1 /{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1\}}$
• Projektionerna av en finit typ II von Neumann algebra bildar en kontinuerlig geometri med dimensioner som tar värden i enhetsintervallet [ , $displaystyle [0,1]}$ .
• Kaplansky (1955) visade att alla ortokomplementerade kompletta modulära gitter är en kontinuerlig geometri.
• Om V är ett vektorrum över ett fält (eller divisionsring ) F , så finns det en naturlig karta från gittret PG( V ) av delrymden av V till gittret av delrymden av $V\otimes F ^{2}$ som multiplicerar dimensioner med 2. Så vi kan ta en direkt gräns för

$PG(F)\subset PG(F^{2})\subset PG(F^ {4})\subset PG(F^{8})\cdots$

${\ displaystil [0,1]}$ har en dimensionsfunktion som tar värden på alla dyadiska rationaler mellan 0 och 1. Dess komplettering är en kontinuerlig geometri som innehåller element av varje dimension i . Denna geometri konstruerades av von Neumann (1936b) och kallas den kontinuerliga geometrin över F

Dimensionera

Detta avsnitt sammanfattar några av resultaten av von Neumann (1998, del I). Dessa resultat liknar, och motiverades av, von Neumanns arbete med projektioner i von Neumann algebra.

Två element a och b i L kallas perspektiv , skrivna a ∼ b , om de har ett gemensamt komplement. Detta är en ekvivalensrelation på L ; beviset på att det är transitivt är ganska svårt.

Ekvivalensklasserna A , B , ... av L har en total ordning på sig definierad av A ≤ B om det finns något a i A och b i B med a ≤ b . (Detta behöver inte gälla för alla a i A och b i B .)

Dimensionsfunktionen D från L till enhetsintervallet definieras enligt följande.

• Om ekvivalensklasserna A och B innehåller elementen a och b med a ∧ b = 0 så definieras deras summa A + B som ekvivalensklassen för a ∨ b . Annars är summan A + B inte definierad. För ett positivt heltal n definieras produkten nA som summan av n kopior av A , om denna summa är definierad.
• För ekvivalensklasserna A och B med A inte {0} definieras heltal [ B : A ] som det unika heltal n ≥ 0 så att B = nA + C med C < B .
• För ekvivalensklasserna A och B med A inte {0} definieras det reella talet ( B : A ) som gränsen för [ B : C ] / [ A : C ] eftersom C löper genom en minimal sekvens: detta betyder att antingen C innehåller ett minimalt element som inte är noll, eller en oändlig sekvens av element som inte är noll, som vart och ett är högst hälften av det föregående.
• D ( a ) definieras som ({ a } : {1}) , där { a } och {1} är ekvivalensklasserna som innehåller a och 1.

Bilden av D kan vara hela enhetsintervallet, eller uppsättningen siffror $0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1$ för något positivt heltal n . Två element av L har samma bild under D om och bara om de är perspektiv, så det ger en injektion från ekvivalensklasserna till en delmängd av enhetsintervallet. Dimensionsfunktionen D har egenskaperna:

• Om a < b så D ( a ) < D ( b )
• D ( a ∨ b ) + D ( a ∧ b ) = D ( a ) + D ( b )
• D ( a ) = 0 om och endast om a = 0 , och D ( a ) = 1 om och endast om a = 1
• 0 ≤ D ( a ) ≤ 1

Koordinatiseringsteorem

Inom projektiv geometri säger Veblen-Young-satsen att en projektiv geometri med dimensionen minst 3 är isomorf med den projektiva geometrin för ett vektorrum över en delningsring. Detta kan återges som att delrummen i den projektiva geometrin motsvarar de huvudsakliga högra idealen för en matrisalgebra över en divisionsring.

Neumann generaliserade detta till kontinuerliga geometrier, och mer allmänt till kompletterade modulära gitter, enligt följande ( von Neumann 1998 , del II). Hans teorem säger att om ett kompletterat modulärt gitter L har ordning minst 4, då motsvarar elementen i L de huvudsakliga rättsidealerna för en von Neumann vanlig ring . Närmare bestämt om gittret har ordning n så _{kan von Neumann} regelbunden ring tas som en n gånger n matrisring Mn ( R ) över en annan von Neumann regelbunden ring R. Här har ett kompletterat modulärt gitter ordningen n om det har en homogen bas av n element, där en bas är n element a ₁ , ..., a _n så att a _i ∧ a _j = 0 om i ≠ j , och a ₁ ∨ ... ∨ a _n = 1 , och en bas kallas homogen om två element är perspektiv. Ordningen på ett gitter behöver inte vara unik; till exempel, vilket gitter som helst har ordning 1. Villkoret att gittret har ordning minst 4 motsvarar villkoret att dimensionen är minst 3 i Veblen–Young-satsen, eftersom ett projektivt rum har dimensionen minst 3 om och endast om den har en uppsättning av minst 4 oberoende punkter.

Omvänt bildar de huvudsakliga högra idealen för en von Neumann regelbunden ring ett kompletterat modulärt gitter ( von Neumann 1998 , del II sats 2.4).

Antag att R är en von Neumann regelbunden ring och L dess gitter av huvudsakliga rättsideal, så att L är ett kompletterat modulärt gitter. Neumann visade att L är en kontinuerlig geometri om och endast om R är en irreducible komplett rangring .

•    Birkhoff, Garrett (1979) [1940], Lattice theory , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 25 (3:e upplagan), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1025-5 , MR 0598630
• Fofanova, TS (2001) [1994], "Ortomodulärt gitter" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Halperin, Israel (1960), "Introduktion till von Neumann algebras och kontinuerlig geometri", Canadian Mathematical Bulletin , 3 (3): 273–288, doi : 10.4153/CMB-1960-034-5 , ISSN 0008-423012 , 39MR 39012
•     Halperin, Israel (1985), "Books in Review: A survey of John von Neumanns böcker om kontinuerlig geometri", Order , 1 (3): 301–305, doi : 10.1007/BF00383607 , ISSN 0167-8094 , S22C2 15 , S42C2 15 , 122594481
•     Kaplansky, Irving (1955), "Any ortocomplemented complete modular lattice is a continuous geometrie", Annals of Mathematics , Second Series, 61 ( 3): 524–541, doi : 10.2307/1969811 , ISSN 0003-48 , ISSN 0003-48 0088476
•       von Neumann, John (1936), "Continuous geometry", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 22 (2): 92–100, Bibcode : 1936PNAS...22...92N , doi : 10.1073/pnas.22.2.92 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 86390 , PMC 1076712 , PMID 16588062 , Zbl 0014.22307
•      von Neumann, John (1936b), "Exempel på kontinuerliga geometrier", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 22 (2): 101–108, Bibcode : 1936PNAS ...22..101N , doi : 10.1073/pnas.22.2.101 , JFM 62.0648.03 , JSTOR 86391 , 6 PM 73100 , PMC 73100
•    von Neumann, John (1998) [1960], Continuous geometri , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05893-1 , MR 0120174
•   von Neumann, John (1962), Taub, AH (red.), Samlade verk. Vol. IV: Kontinuerlig geometri och andra ämnen , Oxford: Pergamon Press, MR 0157874
•     von Neumann, John (1981) [1937], Halperin, Israel (red.), "Continuous geometries with a transition probability" , Memoirs of the American Mathematical Society , 34 (252), ISBN 978-0-8218-2252-4 , ISSN 0065-9266 , MR 0634656
•   Skornyakov, LA (1964), Kompletterade modulära gitter och vanliga ringar , London: Oliver & Boyd, MR 0166126