Hyperfinit typ II faktor
Inom matematiken finns det upp till isomorfism exakt två separat verkande hyperfinita typ II-faktorer ; en oändlig och en ändlig. Murray och von Neumann bevisade att det fram till isomorfism finns en unik von Neumann-algebra som är en faktor av typ II 1 och även hyperfinit ; det kallas hyperfinit typ II 1 faktor . Det finns ett oräkneligt antal andra faktorer av typ II 1 . Connes bevisade att den oändliga också är unik.
Konstruktioner
- Von Neumann-gruppalgebra för en diskret grupp med klassegenskapen oändlig konjugation är en faktor av typ II 1 , och om gruppen är mottaglig och räknbar är faktorn hyperfinit. Det finns många grupper med dessa egenskaper, eftersom alla lokalt ändliga grupper är mottagliga. Till exempel, von Neumann gruppalgebra för den oändliga symmetriska gruppen av alla permutationer av en räknebar oändlig mängd som fixerar alla utom ett ändligt antal element ger den hyperfinita typen II 1 faktor .
- Den hyperfinita typ II 1 -faktorn uppstår också från gruppmåttutrymmeskonstruktionen för ergodiska fria måttbevarande handlingar av räknebara mottagliga grupper på sannolikhetsutrymmen.
- Den oändliga tensorprodukten av ett räknebart antal faktorer av typ I n med avseende på deras spårtillstånd är den hyperfinita typ II 1 faktorn. När n =2 kallas detta också ibland för Clifford-algebra för ett oändligt separerbart Hilbert-rum.
- Om p är någon ändlig projektion som inte är noll i en hyperfinit von Neumann-algebra A av typ II, så är pAp den hyperfinita typ II 1- faktorn. På motsvarande sätt är den fundamentala gruppen av A gruppen av positiva reella tal . Detta kan ofta vara svårt att se direkt. Det är dock uppenbart när A är den oändliga tensorprodukten av faktorer av typen I n , där n löper över alla heltal större än 1 oändligt många gånger: ta bara p ekvivalent med en oändlig tensorprodukt av projektioner p n där spåret tillståndet är antingen eller .
Egenskaper
Den hyperfinita II 1 faktorn R är den unika minsta oändliga dimensionella faktorn i följande betydelse: den ingår i vilken annan oändlig dimensionell faktor som helst, och varje oändligt dimensionell faktor som ingår i R är isomorf till R .
Den yttre automorfismgruppen av R är en oändlig enkel grupp med räknebara många konjugationsklasser, indexerade av par bestående av ett positivt heltal p och en komplex p :te roten av 1.
Projektionerna av den hyperfinita II 1 - faktorn bildar en kontinuerlig geometri .
Den oändliga hyperfinita typ II-faktorn
Medan det finns andra faktorer av typ II ∞ finns det en unik hyperfinit, upp till isomorfism. Den består av de oändliga kvadratiska matriserna med poster i den hyperfinita typ II 1 faktorn som definierar avgränsade operatorer .
Se även
- A. Connes, Classification of Injective Factors The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 104, nr 1 (jul. 1976), s. 73–115
- FJ Murray, J. von Neumann, På ringar av operatörer IV Ann. av matte. (2), 44 (1943) s. 716–808. Detta visar att alla ungefär finita faktorer av typ II 1 är isomorfa.