Veblen–Young sats

Inom matematiken säger Veblen-Young-satsen , bevisad av Oswald Veblen och John Wesley Young ( 1908 , 1910 , 1917 ), att ett projektivt utrymme med dimensionen minst 3 kan konstrueras som det projektiva utrymmet associerat med ett vektorrum över en division ring .

Icke-desarguesiska plan ger exempel på 2-dimensionella projektiva rum som inte uppstår från vektorrum över delningsringar, vilket visar att begränsningen till dimensionen minst 3 är nödvändig.

Jacques Tits generaliserade Veblen-Young-satsen till Tits-byggnader , vilket visar att de av rang 3 härstammar från algebraiska grupper .

John von Neumann ( 1998 ) generaliserade Veblen-Young-satsen till kontinuerlig geometri , vilket visar att ett kompletterat modulärt gitter av ordning minst 4 är isomorft till de huvudsakliga rättsidealerna för en von Neumann regelbunden ring .

Påstående

Ett projektivt utrymme S kan definieras abstrakt som en uppsättning P (uppsättningen av punkter), tillsammans med en uppsättning L av delmängder av P (uppsättningen av linjer), som uppfyller dessa axiom:

• Varje två distinkta punkter p och q är på exakt en linje.
• Veblens axiom: Om a , b , c , d är distinkta punkter och linjerna genom ab och cd möts, så gör linjerna genom ac och bd .
• Varje linje har minst 3 punkter på sig.

Veblen–Young-satsen säger att om dimensionen av ett projektivt rum är minst 3 (vilket betyder att det finns två icke-korsande linjer) så är det projektiva rummet isomorft med det projektiva rummet för linjer i ett vektorrum över någon delningsring K .

•    Cameron, Peter J. (1992), Projective and polar spaces , QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, ISBN 978-0-902480-12-4 , MR 1153019
•     Veblen, Oswald ; Young , John Wesley (1908), "A Set of Assumptions for Projective Geometry", American Journal of Mathematics , 30 (4): 347–380, doi : 10.2307 /2369956 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 60 4169 955
•    Veblen, Oswald ; Young, John Wesley (1910), Projective Geometri Volume I , Ginn and Co., Boston, ISBN 978-1-4181-8285-4 , MR 0179666
•    Veblen, Oswald ; Young, John Wesley (1917), Projective Geometry Volume II , Ginn and Co., Boston, ISBN 978-1-60386-062-8 , MR 0179667
•    von Neumann, John (1998) [1960], Continuous geometri , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05893-1 , MR 0120174