Metrisk nära horisont

Nära -horizon-måttet ( NHM ) hänvisar till nära-horisont-gränsen för det globala måttet för ett svart hål . NHM spelar en viktig roll för att studera geometrin och topologin för svarta hål, men är bara väldefinierade för extrema svarta hål. NHM uttrycks i Gaussiska nollkoordinater, och en viktig egenskap är att beroendet av koordinaten $r$ är fixerat i gränsen nära horisonten.

NHM av extrema Reissner–Nordström svarta hål

Metriken för extrema Reissner–Nordström svarta hålet är

ds^{2}\,=\,-{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,dt^{2}+{\ Stor (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{-2}dr^{2}+r^{2}\,{\big (}d\theta ^{2} +\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}\,.

Tar gränsen nära horisonten

t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \ ,{\tilde {r}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,

och om man sedan utelämnar tilderna, erhåller man metriken nära horisonten

ds^{2}=-{\frac { r^{2}}{M^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+M^ {2}\,{\big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}

NHM av extrema Kerr svarta hål

Metriken för det extrema Kerr svarta hålet ( $M=a=J/M$ ) i Boyer-Lindquist-koordinater kan skrivas i följande två upplysande former,

ds^{2}\,=\,-{\frac {\rho _{K}^{2}\Delta _{K}}{\Sigma ^{2}}}\,dt^ {2}+{\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^ {2}+{\frac {\Sigma ^{2}\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\big (}d\phi -\omega _{K }\,dt{\big )}^{2}\,,

ds^{2}\,=\,-{\frac {\ Delta _{K}}{\rho _{K}^{2}}}\,{\big (}dt-M\sin ^{2}\theta d\phi {\big )}^{2}+ {\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^{2}+ {\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\Big (}Mdt-(r^{2}+M^{2})d\phi { \Big )}^{2}\,,

var

\rho _{K}^{2}:=r^{2}+M^{2}\cos ^{2}\theta \,,\;\;\Delta _{K}:={ \big (}rM{\big )}^{2}\,,\;\;\Sigma ^{2}:={\big (}r^{2}+M^{2}{\big )} ^{2}-M^{2}\Delta _{K}\sin ^{2}\theta \,,\;\;\omega _{K}:={\frac {2M^{2}r} {\Sigma ^{2}}}\,.

Tar gränsen nära horisonten

t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }} \,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{\frac {1}{2M\epsilon }} {\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,

och om man utelämnar tilderna får man mätvärdet nära horisonten (detta kallas också för extremal Kerr-hals )

ds^{2}\simeq {\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2}}\,{\Big (}-{\frac {r^{2}}{2M^ {2}}}\,dt^{2}+{\frac {2M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+2M^{2}d\theta ^{2 }{\Big )}+{\frac {4M^{2}\sin ^{2}\theta }{1+\cos ^{2}\theta }}\,{\Big (}d\phi +{ \frac {rdt}{2M^{2}}}{\Big )}^{2}\,.

NHM av extrema Kerr-Newman svarta hål

Extrema Kerr–Newman svarta hål ( ${\displaystyle r_{+}^{2}=M^{2}+Q^{2}})$ beskrivs av måtten

ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2Mr-Q^{2}}{\rho _{KN}}}\!{\Big )}dt^{2}-{\frac {2a\sin ^{2}\!\theta \,(2Mr-Q^{2})}{\rho _ {KN}}}dtd\phi +\rho _{KN}{\Big (}{\frac {dr^{2}}{\Delta _{KN}}}+d\theta ^{2}{\Big )}+{\frac {\Sigma ^{2}}{\rho _{KN}}}d\phi ^{2},

var

\Delta _{KN}\,:=\,r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}\,,\;\;\rho _{KN}\,: =\,r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\!\theta \,,\;\;\Sigma ^{2}\,:=\,(r^{2}+ a^{2})^{2}-\Delta _{KN}a^{2}\sin ^{2}\theta \,.

Att ta transformationen nära horisonten

t\mapsto {\frac { \tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{ \frac {a}{r_{0}^{2}\epsilon }}{\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,\quad {\Big (}r_{0}^ {2}\,:=\,M^{2}+a^{2}{\Big )}

och om man utelämnar tilderna, erhåller man NHM

ds^{2}\simeq {\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\ Big )}\left(-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}dt^{2}+{\frac {r_{0}^{2}}{r^ {2}}}dr^{2}+r_{0}^{2}d\theta ^{2}\right)+r_{0}^{2}\sin ^{2}\!\theta \, {\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\Big )}^{-1}\left (d\phi +{\frac {2arM}{r_{0}^{4}}}dt\right)^{2}\,.

NHM av generiska svarta hål

Förutom NHM för extrema Kerr-Newman familjemått som diskuterats ovan, kan alla stationära NHM skrivas i formen

$ds^{2}=({\hat {h}}_{AB}G^{A}G^{B}-F)r^ {2}dv^{2}+2dvdr-{\hat {h}}_{AB}G^{B}rdvdy^{A}-{\hat {h}}_{AB}G^{A}rdvdy ^{B}+{\hat {h}}_{AB}dy^{A}dy^{B}$ $=-F\,r^{2}dv^{2}+2dvdr+{\hat {h}}_{AB} {\big (}dy^{A}-G^{A}\,rdv{\big )}{\big (}dy^{B}-G^{B}\,rdv{\big )}\, ,$

där de metriska funktionerna $\{F,G^{A}\}$ är oberoende av koordinaten r, ${\hat {h}}_{AB}$ betecknar horisontens inneboende metrik , och $y^{A}$ är isotermiska koordinater vid horisonten.

Anmärkning: I Gaussiska nollkoordinater motsvarar det svarta hålets horisont $r=0$ .

Se även