Ricci scalars (Newman–Penrose formalism)

I Newman–Penrose (NP) formalism av allmän relativitet kodas oberoende komponenter av Ricci-tensorerna i en fyrdimensionell rumtid till sju (eller tio) Ricci-skalärer som består av tre verkliga skalärer ${\displaystyle \{\Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22}\}} , tre$ (eller sex) komplexa skalärer $\{\Phi _{01}={\overline {\Phi }}_{10}\,,\Phi _{02}={\overline {\Phi } }_{20}\,,\Phi _{12}={\overline {\Phi }}_{21}\}$ och NP-kurvaturskalären $\Lambda$ . Fysiskt är Ricci-NP-skalärer relaterade till energi-momentumfördelningen av rumtiden på grund av Einsteins fältekvation .

Definitioner

Givet en komplex nolltetrad $\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^ {a}\}$ och med konventionen $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a }{\bar {m}}_{a}=1\}$ , Ricci-NP-skalärerna definieras av (där överlinje betyder komplex konjugat )

$\Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\ frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\ ,;$

${\displaystyle \Phi _{01}:={\frac {1} {2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{ a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi}}_{01}\,,} Φ 02$$\Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\ ,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={ \overline {\Phi }}_{02}\,,$$\Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:= {\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi }}_{12}\,.$

Anmärkning I: I dessa definitioner skulle $R_{ab}$ kunna ersättas med dess spårfria del $Q_{ab}=R_ {ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R$ eller av Einstein-tensorn $G_{ab}=R_{ab }-{\frac {1}{2}}g_{ab}R$ på grund av normaliseringsrelationerna (dvs. inre produkt) som

$l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a} m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,,$

$l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}} ^{a}=0\,.$

Anmärkning II: Specifikt för elektrovakuum har vi $\Lambda =0$ , alltså

$24\Lambda \,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}{\Big (}-2l^{a}n^{b}+2m^{a} {\bar {m}}^{b}{\Big )}\;\Rightarrow \;R_{ab}l^{a}n^{b}\,=\,R_{ab}m^{a} {\bar {m}}^{b}\,,$

och därför reduceras ${\displaystyle \Phi _{11}} till$

$\Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m} }^{b})={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a }{\bar {m}}^{b}\,.$

Anmärkning III: Om man antar konventionen $\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a} {\bar {m}}_{a}=-1\}$ , bör definitionerna av $\Phi _{ij}$ ha motsatta värden; det vill säga $\Phi _{ij}\mapsto -\Phi _{ij}$ efter signaturövergången.

Alternativa härledningar

Se även: Newman–Penrose formalism § NP-fältekvationer och Newman–Penrose-fältekvationer

Enligt definitionerna ovan bör man ta reda på Ricci-tensorerna innan man beräknar Ricci-NP-skalärerna via kontraktioner med motsvarande tetradvektorer. Denna metod misslyckas dock med att helt återspegla andan i Newman–Penrose-formalismens och alternativt kan man beräkna spinnkoefficienterna och sedan härleda Ricci-NP-skalärerna $\Phi _{ij}$ via relevanta NP-fältekvationer den där

$\Phi }=D\rho -{\bar {\delta }}\kappa -(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }}) \rho +{\bar {\kappa }}\tau +\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,,$

$\Phi _{10}=D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon -(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha -\beta {\bar {\sigma }}+{\bar {\beta }}\varepsilon +\kappa \ lambda +{\bar {\kappa }}\gamma -(\varepsilon +\rho )\pi \,,$

${\displaystyle \Phi _{02}=\delta \tau -\Delta \sigma -(\mu \sigma +{\bar {\lambda } }\rho )-(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau +(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma +\kappa {\bar {\nu } }\$

$,,$

${\delta1 \Phi }=\_{ \gamma -\Delta \beta -(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma -\mu \tau +\sigma \nu +\varepsilon {\bar {\nu }}+(\ gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta -\alpha {\bar {\lambda }}\,,}$

$\Phi _{22}=\delta \nu -\Delta \mu -(\mu ^{2}+ \lambda {\bar {\lambda }})-(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu +{\bar {\nu }}\pi -(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu \,,$

$2\Phi _{11}=D\gamma -\Delta \varepsilon +\delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta -(\tau +{\bar {\pi } })\alpha -\alpha {\bar {\alpha }}-({\bar {\tau }}+\pi )\beta -\beta {\bar {\beta }}+2\alpha \beta +( \varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\rho -{\bar {\rho }})\gamma +(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon -(\mu -{\bar {\mu }})\varepsilon -\tau \pi +\nu \kappa -(\mu \rho -\lambda \sigma )\,,$

medan NP-kurvaturskalären $\Lambda$ kunde beräknas direkt och enkelt via $\Lambda ={\frac {R}{24}}$ med $R$ som den ordinarie skalär krökning av rumtidsmåttet $g_{ab}=-l_{a}n_{b}- n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}$ .

Elektromagnetiska Ricci-NP-skalärer

Enligt definitionerna av Ricci-NP-skalärer $\Phi _{ij}$ ovan och det faktum att $R_{ab}$ skulle kunna ersättas med $G_{ ab}$ i definitionerna är $\Phi _{ij}$ relaterade till energi-momentumfördelningen på grund av Einsteins fältekvationer $G_{ab}= 8\pi T_{ab}$ . I den enklaste situationen, dvs vakuumrumtid i frånvaro av materiefält med $T_{ab}=0$$= {\displaystyle \Phi _{ij}=0}$ kommer vi att ha . Dessutom, för elektromagnetiska fält, utöver de tidigare nämnda definitionerna, $\Phi _{ij}$ kunna bestämmas mer specifikt av

$\Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,,$

där $\phi _{i}$ betecknar de tre komplexa Maxwell-NP-skalärerna som kodar de sex oberoende komponenterna i Faraday-Maxwell 2-formen $F_{ab}$ (dvs den elektromagnetiska fältstyrketensor )

$\phi _{0}:=-F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:=-{\frac {1}{2}} F_{ab}{\big (}l^{a}n^{a}-m^{a}{\bar {m}}^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{ 2}:=F_{ab}n^{a}{\bar {m}}^{b}\,.$

Anmärkning: Ekvationen ${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}} för$ elektromagnetisk fältet är dock inte nödvändigtvis giltigt för andra typer av ämnesfält. Till exempel, i fallet med Yang–Mills-fält kommer det att finnas $\Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})$ där $\digamma _{i}(i\in \{0, 1,2\})$ är Yang–Mills-NP-skalärer.

Se även

• Newman-Penrose formalism
• Weyl skalär