Koenigs funktion

Inom matematik är Koenigs -funktionen en funktion som uppstår i komplexa analyser och dynamiska system . Introducerad 1884 av den franske matematikern Gabriel Koenigs , ger den en kanonisk representation som utvidgningar av en univalent holomorf avbildning , eller en halvgrupp av avbildningar, av enhetsskivan i de komplexa talen in i sig själv.

Existens och unikhet hos Koenigs funktion

Låt D vara enhetsskivan i de komplexa talen. Låt $f$ vara en holomorf funktion som avbildar D i sig själv, fixerar punkten 0, med $f$ inte identiskt 0 och $f$ inte en automorfism av D , dvs en Möbius-transformation definierad av en matris i SU(1,1).

Enligt Denjoy-Wolffs sats lämnar $f$ invariant varje skiva | z | < r och iteraten av $f$ konvergerar enhetligt på compacta till 0: faktiskt för 0 < $r$ < 1,

|f(z)|\leq M(r)|z|

för | z | ≤ r med M ( r ) < 1. Dessutom $f$ '(0) = $λ$ med 0 < | $λ$ | < 1.

Koenigs (1884) bevisade att det finns en unik holomorf funktion h definierad på D , kallad Koenigs funktion , så att $h$ (0) = 0, $h$ '(0) = 1 och Schröders ekvation är uppfylld,

h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.

Funktionen h är den enhetliga gränsen för compacta för de normaliserade iteraten , $g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n }(z)$ .

Dessutom, om $f$ är univalent, så är $h också$ .

Som en konsekvens, när $f$ (och därmed $h$ ) är univalenta, kan $D$ identifieras med den öppna domänen $U = h (D)$ . Under denna konforma identifiering blir mappningen $f$ multiplikation med $λ$ , en utvidgning på $U$ .

Bevis

Unikhet . Om $k$ är en annan lösning så räcker det genom analyticitet att visa att k = h nära 0. Låt

H=k\circ h^{-1}(z)

nära 0. Således H (0) =0, H' (0)=1 och, för | z | liten,

{\displaystyle \lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z) =H(\lambda z)~.} Genom att ersätta

H

i potensserien , följer det att

H (z) = z

nära 0. Därför är

h = k

nära 0.

Existens . Om $F(z)=f(z)/\lambda z,$ sedan av Schwarz-lemmat

{\ displaystyle |F(z)-1|\leq (1+|\lambda |^{-1})|z|~.}

Å andra sidan,

g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j}(z))~.

Därav g _n konvergerar enhetligt för | z | ≤ r av Weierstrass M-test eftersom

\sum \sup _{|z|\leq r}|1-F\circ f^{j}(z)|\leq (1+|\lambda |^{-1})\summa M(r)^{j}<\infty .

Univalens Enligt Hurwitzs sats , eftersom varje g ⁿ är univalent och normaliserad, dvs fixerar 0 och har derivata 1 där, är deras gräns $h$ också univalent.

Koenigs funktion av en halvgrupp

Låt $f t (z)$ vara en semigrupp av holomorfa univalenta avbildningar av $D$ i sig själv som fixerar 0 definierad för $t \in [0, \infty)$ så att

$f_{s}$ är inte en automorfism för $s$ > 0
$f_{s}(f_{t}(z))=f_{t+s}(z)$
$f_{0}(z)=z$
$f_{t}(z)$ är gemensamt kontinuerlig i $t$ och $z$

Varje $f s$ med $s$ > 0 har samma Koenigs funktion, jfr. itererad funktion . Faktum är att om h är Koenigs-funktionen av $f = f 1$ , så uppfyller $h (f s (z))$ Schroeders ekvation och är därför proportionell mot h .

Att ta derivat ger

h(f_{s}(z))=f_{s}^{\prime }(0)h(z).

Därför är $h$ Koenigs-funktionen för $f s$ .

Struktur av univalenta semigrupper

På domänen $U = h (D) blir$ kartorna $f s$ multiplikation med $\lambda (s)=f_{s}^{\prime }(0)$ , en kontinuerlig halvgrupp. Så $\lambda (s)=e^{\mu s}$ där $μ$ är en unikt bestämd lösning av $e μ = λ$ med Re $μ$ < 0. Det följer att halvgruppen är differentierbar vid 0. Låt

v(z)=\partial _{t}f_{t}(z)|_{t=0},

en holomorf funktion på $D$ med v (0) = 0 och $v' (0)$ = $μ$ .

Sedan

\partial _{t}(f_{ t}(z))h^{\prime }(f_{t}(z))=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t}(z)),

så att

v=v^{\prime }(0){h \over h^{\prime }}

och

\partial _{t}f_{t}(z)=v(f_{t}(z) ),\,\,\,f_{t}(z)=0~,

flödesekvationen för ett vektorfält.

Begränsat till fallet med 0 < λ < 1, måste h ( D ) vara stjärnliknande så att

\Re {zh^{\prime }(z) \over h(z)}\geq 0~.

Eftersom samma resultat gäller för det ömsesidiga,

\Re {v(z) \over z}\leq 0~,

så att $v (z)$ uppfyller villkoren i Berkson & Porta (1978)

v(z)=zp(z),\,\,\,\Re p(z) \leq 0,\,\,\,p^{\prime }(0)<0.

Omvänt, omvänd stegen ovan, associeras varje holomorft vektorfält $v (z) som uppfyller dessa villkor till en halvgrupp$ $f t$ , med

h(z)=z\exp \int _{0}^{z}{v^{\prime }(0) \over v(w)}-{1 \over w}\,dw.

Anteckningar

Berkson, E.; Porta, H. (1978), "Semigrupper av analytiska funktioner och sammansättningsoperatorer", Michigan Math. J. , 25 : 101–115, doi : 10.1307/mmj/1029002009
Carleson, L.; Gamelin, TDW (1993), Complex dynamics , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97942-5
Elin, M.; Shoikhet, D. (2010), Lineariseringsmodeller för komplexa dynamiska system: Ämnen i univalenta funktioner, funktionella ekvationer och semigruppsteori , Operator Theory: Advances and Applications, vol. 208, Springer, ISBN 978-3034605083
Koenigs, GPX (1884), "Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles", Ann. Sci. École Norm. Supera. , 1 :2–41
Kuczma, Marek (1968). Funktionella ekvationer i en enda variabel . Monografi Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers. ASIN: B0006BTAC2
Shapiro, JH (1993), Kompositionsoperatorer och klassisk funktionsteori , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7
Shoikhet, D. (2001), Semigroups in geometrical function theory , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7111-9