Schröders ekvation

Ej att förväxla med Schrödingers ekvation .

Ernst Schröder (1841–1902) formulerade 1870 sin eponyma ekvation.

Schröders ekvation , uppkallad efter Ernst Schröder , är en funktionell ekvation med en oberoende variabel : givet funktionen h , hitta funktionen Ψ så att

$\forall x\;\;\;\Psi {\big (}h(x){\big )}=s\Psi (x).$

Schröders ekvation är en egenvärdesekvation för kompositionsoperatorn C _h som skickar en funktion f till f ( h (.)) .

Om a är en fixpunkt för h , vilket betyder h ( a ) = a , så är antingen Ψ( a ) = 0 (eller ∞ ) eller s = 1 . Således, förutsatt att Ψ( a ) är ändlig och Ψ′( a ) inte försvinner eller divergerar, ges egenvärdet s av s = h ′( a ) .

Funktionell betydelse

0 För a = 0 , om h är analytisk på enhetsdisken, fixar , och 0 < | h ′(0)| < 1 , sedan visade Gabriel Koenigs 1884 att det finns en analytisk (icke-trivial) Ψ som uppfyller Schröders ekvation. Detta är ett av de första stegen i en lång rad satser fruktbara för att förstå kompositionsoperatorer på analytiska funktionsrum, jfr. Koenigs funktion .

Ekvationer som Schröders är lämpliga för att koda självlikhet , och har därför använts i stor utsträckning i studier av icke-linjär dynamik (ofta kallad kaosteori ). Det används också i studier av turbulens , såväl som renormaliseringsgruppen .

En ekvivalent transponeringsform av Schröders ekvation för inversen Φ = Ψ ⁻¹ av Schröders konjugationsfunktion är h (Φ( y )) = Φ( sy ) . Ändringen av variabler α( x ) = log(Ψ( x ))/log( s ) ( Abel-funktionen ) omvandlar vidare Schröders ekvation till den äldre Abel-ekvationen , α( h ( x )) = α( x ) + 1 . På liknande sätt omvandlar förändringen av variablerna Ψ( x ) = log(φ( x )) Schröders ekvation till Böttchers ekvation , φ( h ( x )) = (φ( x )) ^s .

gäller för hastigheten β( x ) = /Ψ′ Ψ , Julias ekvation β( f ( x )) = f ′( x )β( x ) .

Den n :e potensen av en lösning av Schröders ekvation ger istället en lösning av Schröders ekvation med egenvärdet s ^{n .} På samma sätt, för en inverterbar lösning Ψ( x ) av Schröders ekvation, är den (icke-inverterbara) funktionen Ψ( x ) k (log Ψ( x )) också en lösning, för varje periodisk funktion k ( x ) med periodlogg ( ar ) . Alla lösningar av Schröders ekvation är relaterade på detta sätt.

Lösningar

Schröders ekvation löstes analytiskt om a är en attraherande (men inte superattraherande) fixpunkt, det vill säga 0 < | h ′( a )| < 1 av Gabriel Koenigs (1884).

I fallet med en superattraherande fixpunkt, | h ′( a )| = 0 , Schröders ekvation är svårhanterlig och skulle bäst omvandlas till Böttchers ekvation .

Det finns ett stort antal speciella lösningar som går tillbaka till Schröders originaltidning från 1870.

Serieexpansionen runt en fixpunkt och de relevanta konvergensegenskaperna för lösningen för den resulterande omloppsbanan och dess analytiska egenskaper sammanfattas på ett övertygande sätt av Szekeres . Flera av lösningarna tillhandahålls i termer av asymptotiska serier , jfr. Carleman matris .

Ansökningar

De första fem halvperioderna av fas-rymdbanan för den kaotiska logistiska kartan s = 4 h ( x ) , interpolerad holografiskt genom Schröders ekvation. Hastigheten v = d h _t /d t plottad mot h _t . Kaos är uppenbart i omloppsbanan som sveper över alla x s hela tiden.

Se även: Rationell skillnadsekvation

Den används för att analysera diskreta dynamiska system genom att hitta ett nytt koordinatsystem där systemet (omloppsbanan) som genereras av h ( x ) ser enklare ut, bara en utvidgning.

Mer specifikt kan ett system för vilket en diskret tidsenhetssteg uppgår till x → h ( x ) få sin jämna bana (eller flöde ) rekonstruerad från lösningen av ovanstående Schröders ekvation, dess konjugationsekvation .

Det vill säga h ( x ) = Ψ ⁻¹ ( s Ψ( x )) ≡ h ₁ ( x ) .

I allmänhet tillhandahålls alla dess funktionella iterationer (dess vanliga iterationsgrupp , se itererad funktion ) av omloppsbanan

$h_{t}(x)=\Psi ^{-1}{\big (}s^{t}\Psi (x) ){\big )},$

för t verkligt — inte nödvändigtvis positivt eller heltal. (Alltså en hel kontinuerlig grupp .) Uppsättningen av h _n ( x ) , dvs av alla positiva heltals iterater av h ( x ) ( semigroup ) kallas splittern (eller Picard-sekvensen) av h ( x ) .

Men alla iterater (bråkdel, infinitesimal eller negativ) av h ( x ) specificeras på samma sätt genom koordinattransformationen Ψ ( x ) som bestäms för att lösa Schröders ekvation: en holografisk kontinuerlig interpolation av den initiala diskreta rekursionen x → h ( x ) har har konstruerats; i själva verket hela omloppsbanan .

Till exempel är den funktionella kvadratroten h _1/2 ( x ) = Ψ ⁻¹ ( s ^1/2 Ψ( x )) , så att h _1/2 ( h _1/2 ( x )) = h ( x ) , och så vidare.

Till exempel, specialfall av den logistiska kartan som det kaotiska fallet h ( x ) = 4 x (1 − x ) utarbetades redan av Schröder i sin ursprungliga artikel (s. 306),

Ψ( x ) = (arcsin √ x ) ² , s = 4 , och därmed h _t ( x ) = sin ² (2 ^t arcsin √ x ) .

I själva verket ses denna lösning resultera som rörelse dikterad av en sekvens av återkopplingspotentialer, V ( x ) ∝ x ( x − 1) ( nπ + arcsin √ x ) ² , ett generiskt särdrag för kontinuerliga iterater som åstadkommes av Schröders ekvation.

Ett icke-kaotiskt fall som han också illustrerat med sin metod, h ( x ) = 2 x (1 − x ) , ger avkastning

Ψ( (1 − 2 x ) ) = − 1/2 ) , h _t ( x ) = − 1/2 ln x ((1 − 2 x ) ^{2 t} − 1 och därmed .

På samma sätt, för Beverton–Holt-modellen , h ( x ) = x /(2 − x ) , hittar man lätt Ψ( x ) = x /(1 − x ) , så att

$h_{t}(x)=\Psi ^{-1}{\big (}2^{-t}\Psi (x){\big )}={\frac {x}{2^{ t}+x(1-2^{t})}}.$

Se även

• Böttchers ekvation