Schlessingers teorem
Inom algebra är Schlessingers sats en sats inom deformationsteorin som introducerades av Schlessinger ( 1968 ) som ger förutsättningar för en funktor av artiniska lokala ringar att vara pro-representerbar, vilket förfinar en tidigare sats från Grothendieck .
Definitioner
Λ är en komplett noeterisk lokal ring med restfält k , och C är kategorin av lokala artinska Λ-algebror (vilket i synnerhet betyder att som moduler över Λ är de ändligt genererade och artinska) med restfält k .
En liten förlängning i C är en morfism Y → Z i C som är surjektiv med kärnan ett 1-dimensionellt vektorrum över k .
En funktor kallas representabel om den har formen h X där h X ( Y )=hom( X , Y ) för vissa X , och kallas pro-representerbar om den har formen Y →lim hom( X i , Y ) för en filtrerad direkt gräns över i i någon filtrerad ordnad uppsättning.
En morfism av funktorer F → G från C till mängder kallas jämn om närhelst Y → Z är en epimorfism av C , kartan från F ( Y ) till F ( Z ) × G ( Z ) G ( Y ) är surjektiv. Denna definition är nära relaterad till föreställningen om en formellt jämn morfism av scheman. Om kartan mellan tangentrymden för F och G dessutom är en isomorfism, så kallas F ett skrov av G .
Grothendiecks sats
Grothendieck (1960 , proposition 3.1) visade att en funktor från kategori C av artinska algebror till mängder är pro-representerbar om och bara om den bevarar alla finita gränser. Detta villkor är likvärdigt med att be att funktorn bevarar pullbacks och det slutliga objektet. Faktum är att Grothendiecks teorem inte bara gäller kategori C av artinska algebror, utan alla kategorier med ändliga gränser vars objekt är artinska.
Genom att ta den projektiva gränsen för den pro-representerbara funktorn i den större kategorin linjärt topologiserade lokala ringar, erhåller man en fullständig linjärt topologiserad lokal ring som representerar funktorn.
Schlessingers representationssats
En svårighet med att tillämpa Grothendiecks teorem är att det kan vara svårt att kontrollera att en funktor bevarar alla pullbacks. Schlessinger visade att det räcker med att kontrollera att funktorn bevarar pullbacks av en speciell form, vilket ofta är lättare att kontrollera. Schlessingers teorem ger också förhållanden under vilka funktorn har ett skrov, även om det inte är representerbart.
Schessingers teorem ger förutsättningar för att en mängdvärderad funktor F på C ska kunna representeras av en komplett lokal Λ-algebra R med maximal ideal m så att R / m n är i C för alla n .
Schlessingers sats säger att en funktor från C till mängder med F ( k ) en 1-elementsmängd kan representeras av en komplett Noethersk lokal algebra om den har följande egenskaper, och har ett skrov om den har de tre första egenskaperna:
- H1: Kartan F ( Y × X Z ) → F ( Y ) × F ( X ) F ( Z ) är surjektiv närhelst Z → X är en liten förlängning i C och Y → X är viss morfism i C .
- H2: Kartan i H1 är en bijektion närhelst Z → X är den lilla förlängningen k [ x ]/( x 2 )→ k .
- H3: Tangentrummet för F är ett ändligt dimensionellt vektorrum över k .
- H4: Kartan i H1 är en bijektion när Y = Z är en liten förlängning av X och kartorna från Y och Z till X är desamma.
Se även
- Grothendieck (1960), Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules , Séminaire Bourbaki, vol. 12
- ( 1968), "Functors of Artin rings", Transactions of the American Mathematical Society , 130 : 208–222, doi : 10.2307/1994967 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 19904967 01 , 7