Kirby kalkyl

Inom matematik är Kirby-kalkylen i geometrisk topologi , uppkallad efter Robion Kirby , en metod för att modifiera inramade länkar i 3-sfären med hjälp av en ändlig uppsättning rörelser, Kirby-rörelserna . Med hjälp av fyrdimensionell Cerf-teori bevisade han att om M och N är 3-grenrör , som härrör från Dehn-kirurgi på inramade länkar L respektive J , så är de homeomorfa om och endast om L och J är relaterade till en sekvens av Kirby-rörelser . Enligt Lickorish-Wallace-satsen erhålls varje slutet orienterbart 3-grenrör genom sådan kirurgi på någon länk i 3-sfären.

Det finns en viss tvetydighet i litteraturen om den exakta användningen av termen "Kirby flyttar". Olika presentationer av "Kirby calculus" har olika uppsättning drag och dessa kallas ibland Kirby-drag. Kirbys ursprungliga formulering involverade två typer av drag, "sprängning" och "handtagsglidning"; Roger Fenn och Colin Rourke uppvisade en likvärdig konstruktion när det gäller ett enda drag, Fenn-Rourke-draget, som förekommer i många utställningar och förlängningar av Kirby-kalkylen. Dale Rolfsens bok, Knots and Links , från vilken många topologer har lärt sig Kirby-kalkylen, beskriver en uppsättning av två rörelser: 1) ta bort eller lägg till en komponent med operationskoefficient oändlighet 2) vrid längs en oknuten komponent och modifiera operationskoefficienter på lämpligt sätt (detta kallas för Rolfsen-twist). Detta möjliggör en utvidgning av Kirby-kalkylen till rationella operationer.

Det finns också olika knep för att modifiera operationsdiagram. Ett sådant användbart drag är slam-dunk .

En utökad uppsättning diagram och drag används för att beskriva 4-grenrör . En inramad länk i 3-sfären kodar instruktioner för att fästa 2-handtag på 4-kulan. (Den 3-dimensionella gränsen för detta grenrör är den 3-dimensionella tolkningen av länkdiagrammet som nämns ovan.) 1-handtag betecknas med antingen

1. ett par 3-kulor (fästområdet för 1-handtaget) eller, mer vanligt,
2. oknutna cirklar med prickar.

Punkten indikerar att ett område av en standard 2-skiva med gräns den prickade cirkeln ska skäras ut från det inre av 4-kulan. Att ta bort detta 2-handtag motsvarar att lägga till ett 1-handtag; 3-handtag och 4-handtag är vanligtvis inte indikerade i diagrammet.

Hantera sönderdelning

• En stängd, slät 4-grenrör beskrivs vanligtvis av en handtagsnedbrytning .
• Ett 0-handtag är bara en boll, och den fästande kartan är osammanhängande.
• Ett 1-handtag är fäst längs två disjunkta 3- kulor .
• Ett 2-handtag är fäst längs en solid torus ; eftersom denna solida torus är inbäddad i ett 3-grenrör , finns det ett samband mellan handtagsnedbrytningar på 4-grenrör och knutteori i 3-grenrör.
• Ett par handtag med index som skiljer sig med 1, vars kärnor förbinder varandra på ett tillräckligt enkelt sätt kan avbrytas utan att det underliggande grenröret ändras. På liknande sätt kan ett sådant avbrytande par skapas.

Två olika släta handtagsupplösningar av ett slätt 4-grenrör är relaterade till en ändlig sekvens av isotoper av de bifogade kartorna, och skapande/upphävande av handtagspar.

Se även

• Exotisk $\mathbb {R} ^{4}$

•    Kirby, Robion (1978). "En kalkyl för inramade länkar i S ³ ". Inventiones Mathematicae . 45 (1): 35–56. Bibcode : 1978InMat..45...35K . doi : 10.1007/BF01406222 . MR 0467753 . S2CID 120770295 .
•   Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979). "Om Kirbys länkkalkyl" . Topologi . 18 (1): 1–15. doi : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 . MR 0528232 .
•    Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999). 4-grenrör och Kirby Calculus . Forskarstudier i matematik . Vol. 20. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0994-6 . MR 1707327 .