Cerf teori

I matematik , i föreningspunkten mellan singularitetsteori och differentialtopologi , är Cerf-teorin studiet av familjer med jämna verkliga funktioner

$f\colon M\to \mathbb {R}$

på ett jämnt grenrör $M$ , deras generiska singulariteter och topologin för underrummen definierar dessa singulariteter, som underrum till funktionsrummet. Teorin är uppkallad efter Jean Cerf , som initierade den i slutet av 1960-talet.

Ett exempel

Marston Morse bevisade att, förutsatt att $M$ är kompakt, kan vilken som helst jämn funktion $f\colon M\to \mathbb {R}$ approximeras av en morsefunktion . Således, för många ändamål, kan man ersätta godtyckliga funktioner på $M$ med Morse-funktioner.

Som ett nästa steg skulle man kunna fråga sig, "om du har en enparametersfamilj av funktioner som börjar och slutar vid morsefunktioner, kan du anta att hela familjen är morse?" Generellt sett är svaret nej. Betrakta till exempel en-parameterfamiljen av funktioner på $M=\mathbb {R}$ som ges av

$f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx.$

Vid tiden $t=-1$ , har den inga kritiska punkter, men vid tiden $t=1$ , är det en morsefunktion med två kritiska punkter vid ${ \displaystyle x=\pm 1}$ .

Cerf visade att en enparametersfamilj av funktioner mellan två morsefunktioner kan approximeras av en som är morse överhuvudtaget men ändligt många degenererade gånger. Degenerationerna involverar en födelse/dödsövergång av kritiska punkter, som i exemplet ovan när, vid $t=0$ , skapas ett index 0 och index 1 kritisk punkt när $t$ ökar.

En skiktning av ett oändligt dimensionellt utrymme

För att återgå till det allmänna fallet där $M$ är ett kompakt grenrör, låt $\operatorname {Morse} (M)$ beteckna utrymmet för morsefunktioner på $M$ , och $\operatorname {Func} (M)$ utrymmet för jämna funktioner med verkligt värde på $M$ . Morse bevisade att $\operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)$ är en öppen och tät delmängd i $C ^{\infty }$ topologi.

För intuitionens syfte är här en analogi. Tänk på Morse-funktionerna som det toppdimensionella öppna skiktet i en stratifiering av $\operatorname {Func} (M)$ (vi gör inga påståenden om att en sådan stratifiering existerar, men antar att en gör det). Lägg märke till att i stratifierade utrymmen samdimensionen 0 öppet stratum öppet och tätt. För notationsändamål, vänd om konventionerna för att indexera stratifieringarna i ett stratifierat utrymme och indexera de öppna skikten inte efter deras dimension, utan efter deras samdimension. Detta är praktiskt eftersom $\operatorname {Func} (M)$ är oändligt dimensionell om $M$ inte är en ändlig mängd. Genom antagande är den öppna samdimensionen 0 stratum av $\operatorname {Func} (M)$ Morse $\operatorname {Morse} (M)$ dvs. $\operatörsnamn {Func} (M)^{0}=\operatörsnamn {Morse} (M)$ . I ett stratifierat utrymme $X$ kopplas ofta ${\displaystyle X^{0}} bort.$ Den väsentliga egenskapen för samdimensionen 1 stratum $X^{1}$ är att vilken väg som helst i $X$ som börjar och slutar på $X^{0}$ kan approximeras av en bana som skär $X^{1}$ på tvären i ändligt många punkter, och inte skär $X^{i}$ för någon $i>1$ .

Således är Cerf-teorin studiet av de positiva samdimensionella skikten av $\operatorname {Func} (M)$ , dvs: $\operatorname {Func} (M )^{i}$ för $i>0$ . I fallet med

$f_{t}(x)=x^{3}-tx$ ,

endast för $t=0$ är funktionen inte Morse, och

$f_{0}(x)=x^{3}$

har en kubiskt degenererad kritisk punkt som motsvarar övergången födelse/död.

En enskild tidsparameter, satssats

Morsesatsen hävdar att om $f\colon M\to \mathbb {R}$ är en morsefunktion, så är den nära en kritisk punkt $p$ konjugerad till en funktion $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ av formen

$g(x_{1},x_{ 2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb + \epsilon _{n}x_{n}^{2}$

där $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\}$ .

Cerfs enparametersats hävdar den väsentliga egenskapen hos samdimensionen ett stratum.

Exakt, om $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ är en enparameterfamilj av jämna funktioner på $M$ med $t\in [0,1]$ , och $f_{0},f_{1}$ Morse, då finns det en jämn enparameterfamilj ${\ displaystyle F_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$ så att $F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}$ , $F$ är jämnt nära $f$ i $C^{k}$ -topologin på funktionerna $M\times [0 ,1]\to \mathbb {R}$ . Dessutom $F_{t}$ morse överhuvudtaget men ändligt många gånger. Vid en icke-morsetid har funktionen endast en degenererad kritisk punkt $p$ , och nära den punkten är familjen $F_{t}$ konjugerad till familjen

$g_{t} (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2 }x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}$

där $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$ . Om $\epsilon _{1}=-1$ är detta en enparametersfamilj av funktioner där två kritiska punkter skapas (när $t$ ökar), och för $\epsilon _{1}=1$ det är en enparametersfamilj av funktioner där två kritiska punkter förstörs.

Ursprung

PL - Schoenflies-problemet för $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ löstes av JW Alexander 1924. Hans bevis anpassades till det smidiga fallet av Morse och Emilio Baiada . Den väsentliga egenskapen användes av Cerf för att bevisa att varje orienteringsbevarande diffeomorfism av $S^{3}$ är isotop för identiteten, ses som en enparameters förlängning av Schoenflies-satsen för $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ . Följden $\Gamma _{4}=0$ vid den tiden hade vida implikationer i differentiell topologi. Den väsentliga egenskapen användes senare av Cerf för att bevisa pseudoisotopisatsen för högdimensionella enkelt anslutna grenrör. Beviset är en enparameters förlängning av Stephen Smales bevis för h-kobordismsatsen (omskrivningen av Smales bevis till det funktionella ramverket gjordes av Morse, och även av John Milnor och av Cerf, André Gramain och Bernard Morin efter förslag från René Thom ).

John Mathers arbete . En användbar modern sammanfattning av Thom och Mathers arbete från den perioden är Marty Golubitskys och Victor Guillemins bok .

Ansökningar

Förutom de ovan nämnda tillämpningarna använde Robion Kirby Cerf-teori som ett nyckelsteg för att motivera Kirby-kalkylen .

Generalisering

En stratifiering av komplementet till ett oändligt samdimensionellt delrum av rymden av släta kartor $\{f\colon M\to \mathbb {R} \}$ utvecklades så småningom av Francis Sergeraert .

Under sjuttiotalet löstes klassificeringsproblemet för pseudoisotopier av icke-enkelt sammankopplade grenrör av Allen Hatcher och John Wagoner, som upptäckte algebraiska $K_{i}$ -hinder på $\pi _ {1}M$ ( $i=2$ ) och $\pi _{2}M$ ( $i=1$ ) och av Kiyoshi Igusa , upptäckt hinder av liknande karaktär på $\pi _{1}M$ ( ${\displaystyle i=3} )$ .