Kategoriskt spår

I kategoriteorin , en gren av matematiken , är det kategoriska spåret en generalisering av spåret av en matris .

Definition

Spåret definieras i sammanhanget av en symmetrisk monoidal kategori C , dvs en kategori utrustad med en lämplig föreställning om en produkt $\otimes$ . (Notationen speglar att produkten i många fall är en slags tensorprodukt .) Ett objekt X i en sådan kategori C kallas dualiserbart om det finns ett annat objekt $X^{\vee }$ som spelar rollen som ett dubbelobjekt av X . I denna situation definieras spåret av en morfism $f:X\to X$ som sammansättningen av följande morfismer: $\mathrm {tr} (f):1\ {\stackrel {coev}{\longrightarrow }}\ X\otimes X^{\vee }\ {\stackrel {f\otimes \operatorname {id} }{\longrightarrow }}\ X\otimes X^{\vee }\ {\stackrel {twist}{\longrightarrow }} \ X^{\vee }\otimes X\ {\stackrel {eval}{\longrightarrow }}\ 1$ där 1 är den monoida enheten och de extrema morfismerna är samutvärderingen och utvärderingen, som är en del av definitionen av dualiserbara objekt .

Samma definition gäller med stor effekt även när C är en symmetrisk monoidal ∞-kategori.

Exempel

• Om C är kategorin av vektorrum över ett fixerat fält k , är de dualiserbara objekten exakt de ändligdimensionella vektorrymden , och spåret i meningen ovan är morfismen

$k\to k$

som är multiplikation med spåret av endomorfismen f i vanlig mening linjär algebra .

• Om C är ∞-kategorin av kedjekomplex av moduler (över en fast kommutativ ring R ), är dualiserbara objekt V i C exakt de perfekta komplexen . Spåret i den här inställningen fångar till exempel Euler-karakteristiken , som är den alternerande summan av raden av dess termer:

$\mathrm {tr} (\operatörsnamn {id} _{V})=\sum _{i}(-1)^{i}\operatörsnamn {rank} V_{i}.$

Ytterligare applikationer

Kondyrev & Prikhodko (2018) har använt kategoriska spårmetoder för att bevisa en algebro-geometrisk version av Atiyah–Bott fixpunktsformel, en förlängning av Lefschetz fixpunktsformel .

• Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), "Categorical Proof of Holomorphic Atiyah–Bott Formula", J. Inst. Matematik. Jussieu , 19 (5): 1–25, arXiv : 1607.06345 , doi : 10.1017/S1474748018000543

•   Ponto, Kate; Shulman, Michael (2014), "Traces in symmetric monoidal categories", Expositiones Mathematicae , 32 (3): 248–273, arXiv : 1107.6032 , Bibcode : 2011arXiv1107.6032P , doi .101 .01 .201 .201 . 3 , S2CID 119129371