Kategori algebra
I kategoriteorin , ett matematikfält , är en kategorialgebra en associativ algebra , definierad för vilken lokalt ändlig kategori och kommutativ ring som helst med enhet . Kategorialgebror generaliserar begreppen gruppalgebror och incidensalgebror , precis som kategorier generaliserar begreppen grupper och partiellt ordnade mängder .
Definition
Om den givna kategorin är ändlig (har ändligt många objekt och morfismer ), så överensstämmer följande två definitioner av kategorin algebra.
Definition av gruppalgebra-stil
Givet en grupp G och en kommutativ ring R , kan man konstruera RG , känd som gruppalgebra ; det är en R - modul utrustad med en multiplikation. En grupp är detsamma som en kategori med ett enda objekt där alla morfismer är isomorfismer (där elementen i gruppen motsvarar kategorins morfismer), så följande konstruktion generaliserar definitionen av gruppalgebra från grupper till godtyckliga kategorier .
Låt C vara en kategori och R vara en kommutativ ring med enhet. Definiera RC (eller R [ C ]) som den fria R -modulen med uppsättningen av morfismer av C som grund . Med andra ord RC av formella linjära kombinationer (som är ändliga summor) av formen där f i är morfismer av C , och a i är element i ringen R . Definiera en multiplikationsoperation på RC enligt följande, med hjälp av kompositionsoperationen i kategorin:
där om deras sammansättning inte är definierad. Detta definierar en binär operation på RC , och gör dessutom RC till en associativ algebra över ringen R. Denna algebra kallas kategorin algebra av C .
Ur ett annat perspektiv kan delar av den fria modulen RC också betraktas som funktioner från morfismerna av C till R som stöds ändligt . Sedan beskrivs multiplikationen av en faltning : om (tänkt som funktionaler på morfismerna av C ), så definieras deras produkt som
Den senare summan är finit eftersom funktionerna stöds ändligt, och därför .
Definition av incidensalgebrastil
Definitionen som används för incidensalgebror antar att kategorin C är lokalt ändlig (se nedan), är dubbel mot definitionen ovan och definierar ett annat objekt. Detta är inte ett användbart antagande för grupper, eftersom en grupp som är lokalt ändlig som en kategori är ändlig .
En lokalt ändlig kategori är en där varje morfism kan skrivas på endast ändligt många sätt som sammansättningen av två icke-identitetsmorfismer (inte att förväxla med betydelsen "har ändliga Hom -uppsättningar") . Kategorin algebra (i denna mening) definieras enligt ovan, men tillåter alla koefficienter att vara icke-noll.
När det gäller formella summor är elementen alla formella summor
där det inte finns några begränsningar för a (de kan alla vara icke-noll).
När det gäller funktioner är elementen alla funktioner från morfismerna av C till R , och multiplikation definieras som faltning. Summan i faltningen är alltid finit på grund av det lokala ändlighetsantagandet.
Dubbel
Moduldualen i kategorin algebra (i definitionens gruppalgebrabemärkelse) är utrymmet för alla kartor från morfismerna av C till R , betecknade F ( C ), och har en naturlig koalgebrastruktur . För en lokalt ändlig kategori är alltså dualen av en kategorialgebra (i gruppalgebrabemärkelsen) kategorin algebra (i incidensalgebrabemärkelsen), och har både en algebra- och koalgebrastruktur.
Exempel
- Om C är en grupp (tänkt som en groupoid med ett enda objekt), så är RC gruppen algebra .
- Om C är en monoid (tänkt som en kategori med ett enda objekt), så är RC den monoida ringen .
- Om C är en delvis ordnad uppsättning , då (med lämplig definition), är RC incidensalgebra .
- Medan partiella ordningar endast tillåter visning av övre eller nedre triangulära matriser som incidensalgebror, omfattar begreppet kategorialgebror också ringen av matriser för R . Faktum är att om C är förordningen på n punkter där varje punkt har en relation till varannan (en fullständig graf ), så är RC matrisringen .
- Om C är en diskret kategori kan RC ses som ringen av funktioner med punktvis addition och multiplikation, eller motsvarande den direkta produkten av kopior av R indexerade över C . I fallet med oändlig C behöver man särskilja "gruppalgebrastilen" och "incidensalgebrastilen", för i den förra tillåter man bara ändligt många termer i den formella linjära kombinationen, vilket resulterar i att RC istället är den direkta summan av kopior av R .
- Banalgebra för ett koger Q är kategorialgebra för den fria kategorin på Q.
- Hej, John. On the Möbius Algebra and the Grothendieck Ring of a Finite Category J. London Math. Soc (2), 21 (1980) 81-92.