Kasch ring

I ringteorin , ett underfält av abstrakt algebra , är en höger Kasch-ring en ring R för vilken varje enkel höger R- modul är isomorf till ett rätt ideal av R. Analogt definieras begreppet en vänster Kasch-ring , och de två egenskaperna är oberoende av varandra.

Kasch-ringarna är namngivna efter matematikern Friedrich Kaschs ära. Kasch kallade ursprungligen Artinian ringar vars riktiga ideal har nonnoll annihilators S-ringar . Karakteriseringarna nedan visar att Kasch-ringar generaliserar S-ringar.

Definition

Motsvarande definitioner kommer endast att införas för den högra versionen, med förutsättningen att de vänstra analogerna också är sanna. Kasch-villkoren har några likvärdiga uttalanden som använder begreppet annihilators , och den här artikeln använder samma notation som förekommer i annihilator-artikeln.

Utöver definitionen som ges i inledningen är följande egenskaper ekvivalenta definitioner för att en ring R ska vara rätt Kasch. De förekommer i Lam (1999 , s. 281):

För varje enkel höger R -modul M finns det en modulhomomorfism som inte är noll från M till R.
De maximala rätta idealen för R är rätta förintare av ringelement, det vill säga var och en har formen $\mathrm {r.ann} (x)\,$ där x är i R .
För varje maximal rätt ideal T av R , $\mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}$ .
För varje riktig rätt ideal T av R , $\mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}$ .
För varje maximal rätt ideal T av R , $\mathrm {r.ann} (\mathrm {\ell .ann} (T))=T$ .
R har inga täta rättsideal förutom R självt.

Exempel

Innehållet nedan kan hittas i referenser som Faith (1999 , s. 109), Lam (1999 , §§8C,19B), Nicholson & Yousif (2003 , s.51).

Låt R vara en semiprimär ring med Jacobson-radikalen J . Om R är kommutativ, eller om R / J är en enkel ring , så är R höger (och vänster) Kasch. I synnerhet är kommutativa Artinian-ringar höger och vänster Kasch.
För en divisionsring k , betrakta en viss subring R i matrisringen med fyra gånger fyra med ingångar från k . Underringen R består av matriser av följande form:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0&b&c\\0&a&0&d\\0&0&a&0\\0&0&0&e\end{bmatrix}}} Detta är en höger och vänster artinisk ring som är höger Kasch,

men inte lämnade Kasch.

Låt S vara ringen av potensserier på två icke-pendlande variabler X och Y med koefficienter från ett fält F . Låt idealet A vara idealet som genereras av de två elementen YX och Y ² . Kvotringen S / A är en lokal ring som är höger Kasch men inte vänster Kasch .
Antag att R är en direkt ringprodukt av oändligt många ringar som inte är noll märkta A _k . Den direkta summan av A _k bildar ett riktigt ideal av R . Det är lätt att kontrollera att vänster och höger utplånare av detta ideal är noll, och så R är inte höger eller vänster Kasch.
Den två-av-två övre (eller nedre) triangulära matrisringen är inte höger eller vänster Kasch.
En ring med höger socle noll (dvs. $\mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}$ ) kan inte vara rätt Kasch, eftersom ringen innehåller ingen minimala rätt ideal . Så, till exempel, domäner som inte är divisionsringar är inte höger eller vänster Kasch.

Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, s. xxxiv+422, ISBN 978-0-8218-0993-8 , MR 1657671
Kasch, Friedrich (1954), "Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen" , Math . Ann. (på tyska), 127 : 453–474, doi : 10.1007/bf01361137 , ISSN 0025-5831 , MR 0062724
Lam, Tsit-Yuen (1999), Föreläsningar om moduler och ringar , Graduate Texts in Mathematics nr. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294
Morita, Kiiti (1966), "På S -ringar i betydelsen F. Kasch", Nagoya Math. J. , 27 (2): 687–695, doi : 10.1017/S0027763000026477 , ISSN 0027-7630 , MR 0199230
Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Quasi-Frobenius ringar , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Cambridge: Cambridge University Press, s. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN 978-0-521-81593-2 , MR 2003785