Fibonacci-gruppen

I matematik, för ett naturligt tal $n\geq 2$ , den n: te Fibonacci-gruppen , betecknad $F(2,n)$ eller ibland ${\ displaystyle F(n)}$ , definieras av n generatorer $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ och n relationer :

• $a_{1}a_{2}=a_{3},$
• $a_{2}a_{3}=a_{4},$
• $\dots$
• $a_{n-2}a_{n-1}=a_{n},$
• $a_{n-1}a_{n}=a_{1},$
• $a_{n}a_{1}=a_{2}$ .

Dessa grupper introducerades av John Conway 1965.

Gruppen $F(2,n)$ är av ändlig ordning för $n=2,3,4,5,7$ och oändlig ordning för $n=6$ och $n\geq 8$ . Oändligheten av $F(2,9)$ bevisades av dator 1990.

Kaplanskys enhetsgissning

Se även: Kaplanskys gissningar

Från en grupp $G$ och ett fält $K$ (eller mer allmänt en ring ), definieras gruppringen $K[G]$ som mängden av alla finita formella former $K$ -linjära kombinationer av element i $G$ − det vill säga ett element $a$ av $K[G]$ har formen ${\displaystyle a=\sum _{g\in G}\lambda _{g}g} ,$ där $\lambda _{g}=0$ för alla utom ändligt många $g\in G$ så att den linjära kombinationen är finit. Stödet (storleken på) ett element $a=\sum \nolimits _{g}\lambda _{g}g$ i $K[G]$ , betecknad $|\operatorname {supp} a\,|$ , är antalet element $g\in G$ så att $\lambda _{g}\neq 0$ , dvs antalet termer i den linjära kombinationen. Ringstrukturen för $K[G]$ är den "uppenbara": de linjära kombinationerna läggs till "komponentmässigt", dvs som ${\displaystyle \sum \nolimits _{g}\lambda _{g}g+\sum \nolimits _{g}\mu _{g}g=\sum \nolimits _{g} (\lambda _{g}\!+\!\mu _{g})g} ,$ vars stöd också är ändligt, och multiplikation definieras av ${\displaystyle \left(\sum \nolimits _{g}\lambda _{g}g\right)\!\!\left(\sum \nolimits _{h}\mu _ {h}h\right)=\sum \nolimits _{g,h}\lambda _{g}\mu _{h}\,gh} , vars stöd återigen är ändligt, och som kan skrivas i$ formen $\sum _{x\in G}\nu _{x}x$ som ${\ displaystyle \sum _{x\in G}{\Bigg (}\sum _{g,h\in G \atop gh=x}\lambda _{g}\mu _{h}\!{\Bigg )} x}$ .

Kaplanskys enhetsförmodan säger att givet ett fält $K$ och en vridningsfri grupp $G$ (en grupp där alla icke- identitetselement har oändlig ordning ), gruppringen ${\ displaystyle K[G]}$ innehåller inga icke-triviala enheter – det vill säga om $ab=1$ i $K[G]$ så ${\ displaystyle a=kg}$ för vissa $k\in K$ och $g\in G$ . Giles Gardam motbevisade denna gissning i februari 2021 genom att ge ett motexempel . Han tog ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}} ,$ det finita fältet med två element, och han tog $G$ för att vara den 6:e Fibonacci-gruppen $F(2,6)$ . Den icke-triviala enheten $\alpha \in \mathbb {F} _{2}[F(2,6)]$ han upptäckte har $|\operatörsnamn {supp} \alpha \,|=|\operatörsnamn {supp} \alpha ^{-1}|=21$ .

Den 6:e Fibonacci-gruppen $F(2,6)$ har också på olika sätt hänvisats till som Hantzsche-Wendt-gruppen , Passman -gruppen och Promislow-gruppen .

externa länkar

• Ett alternativt bevis på att Fibonacci-gruppen F(2,9) är oändlig av Derek K. Holt ( PostScript- fil).
• "Fibonacci-gruppen" . Encyclopedia of Mathematics .