Atiyah gissning

Inom matematik är Atiyah -förmodan ett samlingsbegrepp för ett antal påståenden om begränsningar av möjliga värden på $l^{2}$ -Betti-tal .

Historia

1976 introducerade Michael Atiyah $l^{2}$ -cohomology of manifolds med en fri co-compact action av en diskret räknebar grupp (t.ex. den universella täckningen av en kompakt manifold tillsammans med handlingen av den fundamentala gruppen genom däckstransformationer .) Atiyah definierade också $l^{2}$ -Betti -tal som von Neumann-dimensioner för de resulterande $l^{2}$ -kohomologigrupperna och beräknade flera exempel, som alla visade sig vara rationella tal . Han frågade därför om det är möjligt för $l^{2}$ -Betti-tal att vara irrationella .

Sedan dess har olika forskare ställt mer raffinerade frågor om möjliga värden för $l^{2}$ -Betti-tal, som alla brukar kallas "Atiyah-förmodan".

Resultat

Många positiva resultat bevisades av Peter Linnell. Till exempel, om gruppen som agerar är en fri grupp , då är $l^{2}$ -Betti-talen heltal .

Den mest allmänna frågan som är öppen i slutet av 2011 är om $l^{2}$ -Betti-tal är rationella om det finns en gräns på ordningen av ändliga undergrupper i gruppen som verkar. I själva verket förmodas ett exakt förhållande mellan möjliga nämnare och ordningarna i fråga ; i fallet med vridningsfria grupper generaliserar detta uttalande gissningen nolldelare . För en diskussion se artikeln av B. Eckmann.

Om det inte finns någon sådan gräns, visade Tim Austin 2009 att $l^{2}$ -Betti-tal kan anta transcendentala värden. Senare visades det att de i så fall kan vara alla icke-negativa reella tal .

Atiyah, M.F (1976). "Elliptiska operatorer, diskreta grupper och von Neumann algebror". Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) . Paris: Soc. Matematik. Frankrike. s. 43–72. Astérisque, nr 32–33.

Austin, Tim (2013). "Rationella gruppringelement med kärnor med irrationell dimension". Proceedings of the London Mathematical Society . 107 (6): 1424–1448. arXiv : 0909.2360 . doi : 10.1112/plms/pdt029 .

Eckmann, Beno (2000). "Introduktion till $\ell _{2}$ -metoder i topologi: reducerad $\ell _{2}$ -homologi, harmoniska kedjor, $\ell _{2}$ -Betti-nummer". Israel Journal of Mathematics . Vol. 117. s. 183–219. doi : 10.1007/BF02773570 .