Kapillärvåg

Den här artikeln handlar om krusningar på flytande gränssnitt. För krusningar i elektricitet, se Ripple (elektrisk) . För annan användning, se Ripple (disambiguation) .

Kapillärvågor (krusningar) i vatten

Ripples på Lifjord i Øksnes , Norge

Kapillärvågor som produceras av dropppåverkan på gränsytan mellan vatten och luft.

En kapillärvåg är en våg som färdas längs en vätskas fasgräns , vars dynamik och fashastighet domineras av effekterna av ytspänning .

Kapillärvågor är vanliga i naturen och kallas ofta för krusningar . Våglängden för kapillärvågor på vatten är vanligtvis mindre än några centimeter, med en fashastighet på över 0,2–0,3 meter/sekund .

En längre våglängd på ett vätskegränssnitt kommer att resultera i gravitation-kapillärvågor som påverkas av både effekterna av ytspänning och gravitation , såväl som av vätsketröghet . Vanliga gravitationsvågor har en ännu längre våglängd.

När de genereras av lätt vind i öppet vatten är ett nautiskt namn för dem katttassar . Lätta vindar som rör upp sådana små krusningar kallas också ibland för katttassar. På det öppna havet kan mycket större havsytans vågor ( hav och dyningar ) bli resultatet av sammansmältning av mindre vindorsakade krusningsvågor.

Spridningsförhållande

Dispersionsrelationen beskriver förhållandet mellan våglängd och frekvens i vågor . Man kan skilja på rena kapillärvågor – helt dominerade av ytspänningens effekter – och gravitation-kapillärvågor som också påverkas av gravitationen.

Kapillärvågor, korrekt

Dispersionsrelationen för kapillärvågor är

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},$

där $\omega$ är vinkelfrekvensen , $\sigma$ ytspänningen , $rho }$ \ densiteten för den tyngre vätskan, $\displaystyle \rho '}$ { densiteten av tändvätskan och $k}$ displaystyle vågnumret . Våglängden är $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}.$ _ För gränsen mellan vätska och vakuum (fri yta) minskar dispersionsrelationen till

$\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.$

Gravitation–kapillärvågor

Spridning av gravitations-kapillärvågor på ytan av djupt vatten (noll masstäthet för det övre lagret, ${\displaystyle \rho '=0} )$ . Fas- och grupphastighet dividerat med $\scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}$ som funktion av invers relativ våglängd ${ \displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}}$ . • Blå linjer (A): fashastighet, Röda linjer (B): grupphastighet. • Ritade linjer: spridningsförhållande för gravitation–kapillärvågor. • Streckade linjer: spridningsförhållande för gravitationsvågor på djupt vatten. • Streckade linjer: spridningsförhållande som gäller för djupvattenkapillärvågor.

När kapillärvågor också påverkas avsevärt av gravitationen, kallas de gravitations-kapillärvågor. Deras spridningsförhållande lyder, för vågor på gränsytan mellan två vätskor med oändligt djup:

$\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),$

där $g$ är accelerationen på grund av gravitationen , $\rho$ och $\rho '$ är massdensiteten för de två vätskorna $(\ rho >\rho ')$ . Faktorn $(\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')$ i den första termen är Atwood-talet .

Tyngdkraftsvågens regim

Ytterligare information: Luftig vågteori

För stora våglängder (liten $k=2\pi /\lambda$ ) är endast den första termen relevant och en har gravitationsvågor . I denna gräns har vågorna en grupphastighet som är halva fashastigheten : efter en enda vågtopp i en grupp kan man se vågen dyka upp längst bak i gruppen, växa och slutligen försvinna längst fram i gruppen.

Kapillärvågsregimen

Kortare (stora $k$ ) vågor (t.ex. 2 mm för vatten-luft-gränssnittet), som är korrekta kapillärvågor, gör tvärtom: en individuell våg dyker upp längst fram i gruppen, växer när den rör sig mot gruppen center och försvinner slutligen längst bak i gruppen. Fashastigheten är två tredjedelar av grupphastigheten i denna gräns.

Fashastighet minimum

Mellan dessa två gränser finns en punkt där spridningen orsakad av gravitationen upphäver dispersionen på grund av kapilläreffekten. Vid en viss våglängd är grupphastigheten lika med fashastigheten och det finns ingen dispersion. Vid exakt samma våglängd har gravitations-kapillärvågornas fashastighet som en funktion av våglängden (eller vågtalet) ett minimum. Vågor med våglängder mycket mindre än denna kritiska våglängd $\lambda _{m}$ domineras av ytspänning och mycket över av gravitation. Värdet på denna våglängd och den tillhörande lägsta fashastigheten $c_{m}$ är:

$\lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m }={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.$

För luft - vattengränssnittet visar sig $\lambda _{m}$ vara 1,7 cm (0,67 tum) och c $\displaystyle c_{m}}$ är 0,23 m/s (0,75 ft/ s).

Om man tappar en liten sten eller droppe i vätska, fortplantar sig vågorna utanför en expanderande cirkel av vätska i vila; denna cirkel är en kaustik som motsvarar den minimala grupphastigheten.

Härledning

Som Richard Feynman uttryckte det, " [vattenvågor] som är lätt att se av alla och som vanligtvis används som exempel på vågor i grundkurser [...] är det värsta tänkbara exemplet [...]; de har alla komplikationer som vågor kan ha. " Härledningen av den allmänna spridningsrelationen är därför ganska involverad.

Det finns tre bidrag till energin, på grund av gravitation, till ytspänning och till hydrodynamik . De två första är potentiella energier och ansvarar för de två termerna i parentesen, vilket framgår av utseendet av $g$ och $\sigma$ . För gravitation görs ett antagande om att vätskornas densitet är konstant (dvs inkompressibilitet), och likaså $g$ (vågorna är inte tillräckligt höga för att gravitationen ska ändras märkbart). För ytspänning antas avvikelserna från planaritet (mätt med derivator av ytan) vara små. För vanliga vågor är båda approximationerna tillräckligt bra.

Det tredje bidraget involverar vätskornas kinetiska energier . Det är det mest komplicerade och kräver ett hydrodynamiskt ramverk. Inkompressibilitet är återigen inblandad (vilket är tillfredsställt om hastigheten på vågorna är mycket mindre än ljudets hastighet i media), tillsammans med att flödet är irroterande – flödet är då potentiellt . Dessa är vanligtvis också bra uppskattningar för vanliga situationer.

Den resulterande ekvationen för potentialen (som är Laplace-ekvationen ) kan lösas med de rätta randvillkoren. Å ena sidan måste hastigheten försvinna långt under ytan (i fallet "djupt vatten", vilket är det vi anser, annars erhålls ett mer involverat resultat, se Havsytvågor .) Å andra sidan måste dess vertikala komponent matcha ytans rörelse. Detta bidrag slutar med att vara ansvarigt för de extra $k$ utanför parentesen, vilket gör att alla regimer blir dispersiva, både vid låga värden på ${\displaystyle k} ,$ och höga (förutom kring det ena värdet där de två dispersionerna tar ut.)

Dispersionsrelation för gravitation-kapillärvågor på ett gränssnitt mellan två semi-oändliga vätskedomäner

Betrakta två vätskedomäner, åtskilda av ett gränssnitt med ytspänning. Den genomsnittliga gränssnittspositionen är horisontell. Den separerar den övre från den nedre vätskan, båda har olika konstant massdensitet, $\rho$ och $\rho '$ för den nedre respektive övre domänen. Vätskan antas vara inviscid och inkompressibel , och flödet antas vara irroterande . Då är flödena potentiella , och hastigheten i det nedre och övre lagret kan erhållas från $\nabla \phi$ respektive $\nabla \phi '$ . Här $\phi (x,y,z,t)$ och $\phi '(x,y,z ,t)$ är hastighetspotentialer . Tre bidrag till energin är involverade: den potentiella energin $V_{g}$ på grund av gravitation , den potentiella energin $V_{st}$ på grund av ytspänningen och den kinetiska energin ${ \displaystyle T}$ för flödet. Delen $V_{g}$ på grund av gravitation är den enklaste: att integrera den potentiella energitätheten på grund av gravitation, $\rho gz$ (eller $\rho ' gz$ ) från en referenshöjd till ytans position, $z=\eta (x,y,t)$ : $V_{\mathrm {g} }= \iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ') g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},$ antar att den genomsnittliga gränssnittspositionen är vid $z=0$ . En ökning av ytans yta orsakar en proportionell ökning av energin på grund av ytspänningen: $V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx { \frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta}{\partial x}}\right)^{2}+\left ({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],$ där den första likheten är arean i denna ( Monges ) representation, och den andra gäller för små värden på derivaten (ytor som inte är för grova). Det sista bidraget involverar vätskans kinetiska energi : $T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\ mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right |^{2}\höger].$ Man använder sig av att vätskan är inkompressibel och dess flöde är irroterande (ofta, förnuftiga approximationer). Som ett resultat, både $\phi (x,y,z,t)$ och $\phi '(x ,y,z,t)$ måste uppfylla Laplace-ekvationen : $\nabla ^{2}\Phi =0$ och $\nabla ^{2}\Phi '=0.$ Dessa ekvationer kan lösas med de rätta randvillkoren: $\phi$ och $\phi '$ måste försvinna långt bort från ytan (i fallet "djupt vatten", vilket är det vi anser ). Använda Greens identitet och anta att avvikelserna för ythöjden är små (så att z –integrationerna kan approximeras genom att integrera upp till $z=0$ istället för $z=\eta$ ), kan den kinetiska energin skrivas som: $T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi}{\partial z}} \;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.$ För att hitta spridningsrelationen räcker det att betrakta en sinusformad våg på gränssnittet, som fortplantar sig i x -riktningen: $\eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \,\theta ,$ med amplitud $a$ och vågfas θ $\displaystyle \theta =kx-\omega t}$ . Det kinematiska gränsvillkoret vid gränsytan, som relaterar potentialerna till gränssnittsrörelsen, är att de vertikala hastighetskomponenterna måste matcha ytans rörelse: ${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}$ och ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}} vid z = {\$ displaystyle $0 }$ . För att ta itu med problemet med att hitta potentialerna kan man prova separation av variabler , när båda fälten kan uttryckas som: ${\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)&=+{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{+|k|z} \,\omega a\,\sin \,\theta ,\\\Phi '(x,y,z,t)&=-{\frac {1}{|k|}}{\text{e}} ^{-|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta .\end{aligned}}$ blir bidragen till vågenergin, horisontellt integrerad över en våglängd $\lambda =2\pi /k$ i x -riktningen, och över en enhetsbredd i y -riktningen: ${\begin{aligned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\ text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho + \rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda .\end{aligned}}$ Dispersionsrelationen kan nu erhållas från Lagrangian L $\displaystyle L=TV}$ , med $V$ summan av de potentiella energierna genom gravitation $V_{g}$ och yta spänning $V_{st}$ : $L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda .$ För sinusformade vågor och linjär vågteori är den fas-medelvärde Lagrangian alltid av formen ${\displaystyle L=D(\omega ,k)a^{2}} ,$ så att variationen med avseende på den enda fria parametern, $a$ , ger dispersionsrelationen $D(\omega ,k)=0$ . I vårt fall $D(\omega ,k)$ bara uttrycket inom hakparenteser, så att dispersionsrelationen är: $\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),$ samma som ovan. är den genomsnittliga vågenergin per enhet horisontell area, ${\displaystyle (T+V)/\lambda } :$ ${\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a ^{2}.$ Som vanligt för linjära vågrörelser är den potentiella och kinetiska energin lika ( ekvipartitionen gäller): $T=V$ .

Se även

• Kapillärverkan
• Dispersion (vattenvågor)
• Vätskerör
• Havsytans våg
• Termisk kapillärvåg
• Tvåfasflöde
• Vågformad krusning

Galleri

• 

  Krusningar på vatten skapade av vattenstridare

• 

  Lätt bris krusar i ytvattnet i en sjö

Anteckningar

•    Longuet-Higgins, MS (1963). "Alstring av kapillärvågor genom branta gravitationsvågor". Journal of Fluid Mechanics . 16 (1): 138–159. Bibcode : 1963JFM....16..138L . doi : 10.1017/S0022112063000641 . ISSN 1469-7645 . S2CID 119740891 .
•   Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6:e upplagan). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9 .
•   Phillips, OM (1977). Dynamiken i det övre havet (andra upplagan). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29801-6 .
•   Dingemans, MW (1997). Vattenvågsutbredning över ojämna bottnar . Advanced Series on Ocean Engineering. Vol. 13. World Scientific, Singapore. s. 2 Delar, 967 sidor. ISBN 981-02-0427-2 .
• Safran, Samuel (1994). Statistisk termodynamik för ytor, gränssnitt och membran . Addison-Wesley.
•   Tufillaro, NB; Ramshankar, R.; Gollub, JP (1989). "Ordningsstörning övergång i kapillärrusningar" . Fysiska granskningsbrev . 62 (4): 422–425. Bibcode : 1989PhRvL..62..422T . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.422 . PMID 10040229 .

externa länkar

• Kapillärvågor på sklogwiki