Hopf konstruktion

I algebraisk topologi konstruerar Hopf-konstruktionen en karta från sammanfogningen X * Y av två utrymmen X och Y till upphängningen SZ av ett utrymme Z från en karta från X × Y till Z. Det introducerades av Hopf ( 1935 ) i fallet när X och Y är sfärer. Whitehead (1942) använde det för att definiera J-homomorfismen .

Konstruktion

Hopf-konstruktionen kan erhållas som sammansättning av en karta

X * Y → S ( X × Y )

och suspensionen

S ( X × Y ) → S ( Z )

av kartan från X × Y till Z .

Kartan från X * Y till S ( X × Y ) kan erhållas genom att betrakta båda sidor som en kvot av X × Y × I där I är enhetsintervallet. För X * Y identifierar man ( x , y ,0) med ( z , y ,0) och ( x , y ,1) med ( x , z ,1), medan man för S ( X × Y ) drar ihop alla punkter av formen ( x , y ,0) till en punkt och kontrakterar också alla punkter i formen ( x , y ,1) till en punkt. Så kartan från X × Y × I till S ( X × Y ) faktorer genom X * Y .

• Hopf, H. (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension" , Fund . Matematik. , 25 : 427-440
•     Whitehead, George W. (1942), "On the homotopy groups of spheres and rotation groups", Annals of Mathematics , Second Series, 43 (4): 634–640, doi : 10.2307/1968956 , ISSN 0003-486X , JSTOR 561968 JSTOR 561968 MR 0007107 _