Interuniversell Teichmüller-teori

Interuniversell Teichmüller-teori (förkortad som IUT eller IUTT ) är namnet som matematikern Shinichi Mochizuki gav till en teori som han utvecklade på 2000-talet, efter hans tidigare arbete inom aritmetisk geometri . Enligt Mochizuki är det "en aritmetisk version av Teichmüllers teori för talfält utrustade med en elliptisk kurva" . Teorin offentliggjordes i en serie av fyra förtryck som publicerades 2012 på hans webbplats. Den mest slående påstådda tillämpningen av teorin är att ge ett bevis för olika framstående gissningar inom talteorin , i synnerhet abc - förmodan . Mochizuki och några andra matematiker hävdar att teorin verkligen ger ett sådant bevis men detta har hittills inte accepterats av den matematiska gemenskapen.

Historia

Teorin utvecklades helt av Mochizuki fram till 2012, och de sista delarna skrevs upp i en serie om fyra förtryck. Mochizuki offentliggjorde sitt arbete i augusti 2012 utan någon av de fanfarer som vanligtvis åtföljer stora framsteg, postade tidningarna endast på sin institutions preprint-server och sin webbplats, och gjorde inget tillkännagivande till kollegor. Kort därefter plockades tidningarna upp av Akio Tamagawa och Ivan Fesenko och det matematiska samhället i stort blev medvetet om påståendena om att ha bevisat abc-förmodan.

Mottagandet av påståendet var först entusiastisk, även om talteoretiker var förbryllade över originalspråket som introducerades och användes av Mochizuki. Workshops om IUT hölls på RIMS i mars 2015, i Peking i juli 2015, i Oxford i december 2015 och på RIMS i juli 2016. De två senaste evenemangen lockade mer än 100 deltagare. Presentationer från dessa workshops finns tillgängliga online. Dessa ledde dock inte till en bredare förståelse av Mochizukis idéer och statusen för hans påstådda bevis ändrades inte av dessa händelser.

Under 2017 pekade ett antal matematiker som hade granskat Mochizukis argument i detalj på en specifik punkt som de inte kunde förstå, nära slutet av beviset för Corollary 3.12, i artikel tre av fyra.

I mars 2018 besökte Peter Scholze och Jakob Stix Kyoto University för fem dagars diskussioner med Mochizuki och Yuichiro Hoshi; även om detta inte löste skillnaderna, fokuserade det på var svårigheterna låg. Det resulterade också i att båda sidor publicerade rapporter om diskussionen:

  • I maj 2018 skrev Scholze och Stix en 10-sidig rapport, uppdaterad i september 2018, som beskriver den (tidigare identifierade) luckan i Corollary 3.12 i beviset, och beskrev det som "så allvarligt att små modifieringar enligt [deras] åsikt inte kommer att rädda bevisstrategin", och att Mochizukis förtryck inte kan göra anspråk på ett bevis på abc.
  • I september 2018 skrev Mochizuki en 41-sidig sammanfattning av sin syn på diskussionerna och sina slutsatser om vilka aspekter av hans teori han anser vara missförstådda. Han namnger särskilt:
    • "återinitialisering" av (matematiska) objekt, vilket gör deras tidigare "historia" otillgänglig;
    • "etiketter" för olika "versioner" av objekt;
    • betoningen på typerna ("arter") av föremål.
  • I juli och oktober 2018 skrev Mochizuki 8- och 5-sidiga reaktioner på versionerna i maj och september av Scholze och Jakob Stix-rapporten och hävdade att klyftan är resultatet av deras förenklingar och att det inte finns någon lucka i hans teori.

Mochizuki publicerade sitt arbete i en serie om fyra tidskriftsartiklar 2021, i tidskriften Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, för vilken han är chefredaktör . I en recension av dessa artiklar i zbMATH skrev Peter Scholze att hans farhågor från 2017 och 2018 "inte har behandlats i den publicerade versionen". Andra författare har pekat på den olösta dispyten mellan Mochizuki och Scholze om riktigheten av detta arbete som ett tillfälle där peer review -processen för matematisk tidskriftspublicering har misslyckats i sin vanliga funktion att övertyga det matematiska samfundet som helhet om giltigheten av en resultat.

Matematisk betydelse

Teorins omfattning

Interuniversell Teichmüller-teori är en fortsättning på Mochizukis tidigare arbete inom aritmetisk geometri. Detta arbete, som har granskats av experter och väl mottagits av det matematiska samhället, inkluderar stora bidrag till anabelsk geometri och utvecklingen av p-adisk Teichmüller-teori, Hodge -Arakelov-teori och Frobenioid -kategorier. Det utvecklades med explicita referenser till syftet att få en djupare förståelse av abc och relaterade gissningar. I den geometriska miljön visas analoger till vissa idéer om IUT i beviset av Bogomolov av den geometriska Szpiro-ojämlikheten .

Nyckelförutsättningen för IUT är Mochizukis mono-anabelska geometri och dess rekonstruktionsresultat, som gör det möjligt att hämta olika schemateoretiska objekt associerade till en hyperbolisk kurva över ett talfält från kunskapen om dess grundläggande grupp, eller om vissa Galois-grupper. IUT tillämpar algoritmiska resultat av mono-anabelsk geometri för att rekonstruera relevanta scheman efter att ha tillämpat aritmetiska deformationer på dem; en nyckelroll spelas av tre stelheter etablerade i Mochizukis etale theta-teori. Grovt sett förändrar aritmetiska deformationer multiplikationen av en given ring, och uppgiften är att mäta hur mycket additionen ändras. Infrastruktur för deformationsprocedurer avkodas av vissa länkar mellan så kallade Hodge-teatrar, såsom en theta-länk och en logg-länk.

Dessa Hodge-teatrar använder två huvudsakliga symmetrier av IUT: multiplikativ aritmetik och additiv geometrisk. Å ena sidan generaliserar Hodge-teatrar sådana klassiska objekt i talteorin som adeles och ideles i förhållande till deras globala element. Å andra sidan generaliserar de vissa strukturer som förekommer i den tidigare Hodge-Arakelov-teorin om Mochizuki. Länkarna mellan teatrar är inte kompatibla med ring- eller schemastrukturer och utförs utanför konventionell aritmetisk geometri. De är dock kompatibla med vissa gruppstrukturer, och absoluta Galois-grupper såväl som vissa typer av topologiska grupper spelar en grundläggande roll i IUT. Överväganden om multiradialitet, en generalisering av funktionalitet, innebär att tre milda obestämbarheter måste införas.

Konsekvenser i talteorin

Den huvudsakliga tillämpningen av IUT är på olika gissningar inom talteorin, bland dem abc -förmodan, men också mer geometriska gissningar som Szpiros gissningar om elliptiska kurvor och Vojtas gissningar för kurvor.

Det första steget är att översätta aritmetisk information om dessa objekt [ ytterligare förklaring behövs ] till inställningen av Frobenioid-kategorier. Det hävdas att extra struktur på denna sida gör att man kan härleda påståenden som översätts tillbaka till de påstådda resultaten.

En fråga med Mochizukis argument, som han erkänner, är att det inte verkar vara möjligt att få mellanresultat i hans påstådda bevis för abc- förmodan med hjälp av IUT. Med andra ord, det finns ingen mindre delmängd av hans argument som är lättare att analysera av externa experter, vilket skulle ge ett nytt resultat i diofantiska geometrier.

Vesselin Dimitrov extraherade från Mochizukis argument ett bevis på ett kvantitativt resultat på abc, vilket i princip skulle kunna ge ett vederläggande av beviset.

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Inter-universal_Teichmüller_theory&oldid=1135493592 "