Hypotes för termalisering av egentillstånd

Egentillståndets termaliseringshypotes (eller ETH ) är en uppsättning idéer som utger sig för att förklara när och varför ett isolerat kvantmekaniskt system kan beskrivas exakt med hjälp av statistisk jämviktsmekanik . I synnerhet ägnas det åt att förstå hur system som initialt är förberedda i långt ifrån jämviktstillstånd kan utvecklas med tiden till ett tillstånd som verkar vara i termisk jämvikt . Frasen "egenstate- termalisering " myntades först av Mark Srednicki 1994, efter att liknande idéer hade introducerats av Josh Deutsch 1991. Den huvudsakliga filosofin som ligger till grund för hypotesen om egentillståndstermalisering är att istället för att förklara ergodiciteten hos ett termodynamiskt system genom mekanismen av dynamiskt kaos , som man gör i klassisk mekanik , bör man istället undersöka egenskaperna hos matriselement av observerbara storheter i individuella energiegentillstånd i systemet.

Motivering

Inom statistisk mekanik är den mikrokanoniska ensemblen en speciell statistisk ensemble som används för att göra förutsägelser om resultaten av experiment utförda på isolerade system som tros vara i jämvikt med en exakt känd energi. Den mikrokanoniska ensemblen är baserad på antagandet att, när ett sådant ekvilibrerat system undersöks, är sannolikheten för att det ska hittas i något av de mikroskopiska tillstånden med samma totala energi lika stor sannolikhet. Med detta antagande hittas ensemblemedelvärdet av en observerbar kvantitet genom att medelvärdet av värdet av den observerbara $A_{i}$ över alla mikrotillstånd $i$ med korrekt total energi:

\displaystyle {\bar {A}}_{\mathrm {klassisk} }={\frac {1}{N}} \sum _{i=1}^{N}A_{i}}

Viktigt är att denna kvantitet är oberoende av allt om initialtillståndet förutom dess energi.

Antagandena om ergodicitet är välmotiverade i klassisk mekanik som ett resultat av dynamiskt kaos , eftersom ett kaotiskt system i allmänhet kommer att tillbringa lika tid i lika delar av sitt fasutrymme . Om vi förbereder ett isolerat, kaotiskt, klassiskt system i någon region av dess fasrum, då systemet tillåts utvecklas med tiden, kommer det att prova hela dess fasutrymme, endast föremål för ett litet antal bevarandelagar (som bevarande av total energi). Om man kan motivera påståendet att ett givet fysiskt system är ergodiskt, så kommer denna mekanism att ge en förklaring till varför statistisk mekanik är framgångsrik i att göra korrekta förutsägelser. Till exempel har den hårda sfärgasen rigoröst bevisats vara ergodisk.

Detta argument kan inte enkelt utvidgas till kvantsystem, även sådana som är analoga med kaotiska klassiska system, eftersom tidsutvecklingen av ett kvantsystem inte enhetligt samplar alla vektorer i Hilbertrymden med en given energi. Givet tillståndet vid tidpunkten noll på basis av energiegentillstånd

|\Psi (0)\rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,

förväntningsvärdet för varje observerbar ${\hat {A}}$ är

\langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle =\summa _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\ hbar }.

Även om $E_{\alpha }$ är inkommensura, så att detta förväntade värde ges för långa tider av

\langle {\hat {A}}\rangle _{t}{\overset {t\to \infty }{\approx }}\summa _{\alpha }\vert c_{\ alpha }\vert ^{2}A_{\alpha \alpha },

förväntningsvärdet behåller permanent kunskap om initialtillståndet i form av koefficienterna $c_{\alpha }$ .

I princip är det alltså en öppen fråga om huruvida ett isolerat kvantmekaniskt system, preparerat i ett godtyckligt initialtillstånd, kommer att närma sig ett tillstånd som liknar termisk jämvikt, där en handfull observerbara värden är tillräckliga för att göra framgångsrika förutsägelser om systemet. Emellertid har en mängd experiment med kalla atomgaser verkligen observerat termisk relaxation i system som till en mycket god approximation är helt isolerade från sin omgivning och för en bred klass av initiala tillstånd. Uppgiften att förklara denna experimentellt observerade tillämpbarhet av statistisk jämviktsmekanik på isolerade kvantsystem är det primära målet för egentillståndets termaliseringshypotes.

Påstående

Antag att vi studerar ett isolerat, kvantmekaniskt mångakroppssystem . I detta sammanhang syftar "isolerad" på det faktum att systemet inte har några (eller åtminstone försumbara) interaktioner med omgivningen utanför det. Om Hamiltonian för systemet betecknas ${\hat {H}}$ , så ges en komplett uppsättning bastillstånd för systemet i termer av Hamiltonianens egentillstånd,

{\hat {H}}|E_{\alpha }\rangle =E_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,

där $|E_{\alpha }\rangle$ är egentillståndet för Hamiltonian med egenvärde $E_{\alpha }$ . Vi kommer att referera till dessa tillstånd helt enkelt som "energiegentillstånd". För enkelhetens skull kommer vi att anta att systemet inte har någon degeneration i sina energiegenvärden , och att det är ändligt i omfattning, så att energiegenvärdena bildar ett diskret, icke-degenererat spektrum (detta är inte ett orimligt antagande, eftersom alla "verkliga " Laboratoriesystemet tenderar att ha tillräcklig störning och tillräckligt starka interaktioner för att eliminera nästan all degeneration från systemet, och kommer naturligtvis att vara begränsad i storlek). Detta gör att vi kan märka energiegentillstånden i ordning efter ökande energiegenvärden. Betrakta dessutom några andra kvantmekaniska observerbara ${\hat {A}}$ , som vi vill göra termiska förutsägelser om. Matriselementen för denna operator, uttryckta i en bas av energiegentillstånd, kommer att betecknas med

A_{\alpha \beta }\equiv \langle E_{\alpha }|{\hat {A}}|E_{\beta }\rangle .

Vi föreställer oss nu att vi förbereder vårt system i ett initialt tillstånd där förväntningsvärdet för ${\hat {A}}$ är långt ifrån dess värde som förutspåtts i en mikrokanonisk ensemble som är lämplig för energiskalan i fråga (vi anta att vårt initiala tillstånd är någon överlagring av energiegentillstånd som alla är tillräckligt "nära" i energi). Egentillståndstermaliseringshypotesen säger att för ett godtyckligt initialtillstånd kommer förväntningsvärdet för ${\hat {A}}$ i slutändan att utvecklas med tiden till dess värde som förutsägs av en mikrokanonisk ensemble, och kommer därefter endast att uppvisa små fluktuationer runt det värdet, förutsatt att följande två villkor är uppfyllda:

De diagonala matriselementen $A_{\alpha \alpha }$ varierar jämnt som en funktion av energi, med skillnaden mellan närliggande värden, ${\displaystyle A_ {\alpha +1,\alpha +1}-A_{\alpha ,\alpha }} ,$ blir exponentiellt liten i systemstorleken.
De off-diagonala matriselementen $A_{\alpha \beta }$ , med $\alpha \neq \beta$ , är mycket mindre än de diagonala matriselementen, och i synnerhet de själva exponentiellt liten i systemstorleken.

Dessa villkor kan skrivas som

A_{\alpha \beta }\simeq {\overline {A}}\delta _{\alpha \beta }+{\sqrt {\frac {\overline {A^{2}}}{\mathcal {D}}}}R_{\alpha \beta },

där ${\overline {A}}={\overline {A}}(E_{\alpha })$ och ${\displaystyle {\overline {A^{2}}}={\overline {A^{2}}}(E_{\alpha },E_{\beta })} är jämna energifunktioner$ , ${\mathcal {D}}=e^{sV}$ är Hilbert-rymddimensionen med många kroppar, och $R_{\alpha \beta }$ är en slumpvariabel med noll medelvärde och enhetsvarians. Omvänt, om ett kvantmångkroppssystem uppfyller ETH, förväntas matrisrepresentationen av vilken lokal operator som helst i energiegenbasen följa ovanstående ansatz.

Likvärdighet mellan de diagonala och mikrokanoniska ensemblerna

Vi kan definiera ett långtidsgenomsnitt av förväntningsvärdet för operatorn ${\hat {A}}$ enligt uttrycket

{\overline {A}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\langle \Psi ( t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle ~dt.

Om vi använder det explicita uttrycket för tidsutvecklingen av detta förväntade värde kan vi skriva

{\overline {A}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left[\sum _ {\alpha ,\beta =1}^{D}c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta}-E_{ \alpha }\right)t/\hbar }\right]~dt.

Integrationen i detta uttryck kan utföras explicit , och resultatet är

{\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }+i\hbar \lim _{ \tau \to \infty }\left[\sum _{\alpha \neq \beta }^{D}{\frac {c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta } }{E_{\beta }-E_{\alpha }}}\left({\frac {e^{-i\left(E_{\beta}-E_{\alpha}\right)\tau /\hbar } -1}{\tau }}\höger)\höger].

Var och en av termerna i den andra summan kommer att bli mindre när gränsen tas till oändlighet. Om man antar att faskoherensen mellan de olika exponentiella termerna i den andra summan aldrig blir tillräckligt stor för att konkurrera med detta sönderfall, kommer den andra summan att gå till noll, och vi finner att det långa medelvärdet av förväntansvärdet ges av

{\overline {A}}=\summa _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }.

Denna förutsägelse för tidsgenomsnittet för den observerbara ${\hat {A}}$ hänvisas till som dess förutsagda värde i diagonalensemblen . Den viktigaste aspekten av diagonalensemblen är att den beror explicit på systemets initiala tillstånd, och tycks därför behålla all information om förberedelserna av systemet. Däremot ges det förutsagda värdet i den mikrokanoniska ensemblen av det lika viktade medelvärdet över alla energiegentillstånd inom något energifönster centrerat kring systemets medelenergi

\langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}} \sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '},

där ${\mathcal {N}}$ är antalet tillstånd i det lämpliga energifönstret, och primtal på summaindexen indikerar att summeringen är begränsad till detta lämpliga mikrokanoniska fönster. Denna förutsägelse hänvisar absolut inte till systemets initiala tillstånd, till skillnad från den diagonala ensemblen. På grund av detta är det inte klart varför den mikrokanoniska ensemblen ska ge en så korrekt beskrivning av långtidsmedelvärdena för observerbara i en så stor variation av fysiska system.

Antag dock att matriselementen $A_{\alpha \alpha }$ faktiskt är konstanta över det relevanta energifönstret, med fluktuationer som är tillräckligt små. Om detta är sant kan detta konstanta värde A effektivt dras ut ur summan, och förutsägelsen av den diagonala ensemblen är helt enkelt lika med detta värde,

{\overline {A}}=\summa _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }\approx A\ summa _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}=A,

där vi har antagit att initialtillståndet normaliseras på lämpligt sätt. Likaså blir förutsägelsen av den mikrokanoniska ensemblen

\langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\summa _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_ {\alpha '\alpha '}\approx {\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A=A.

De två ensemblerna är därför överens.

Denna konstanthet av värdena för $A_{\alpha \alpha }$ över små energifönster är den primära idén bakom egentillståndets termaliseringshypotes. Lägg märke till att det särskilt anger att förväntningsvärdet för ${\hat {A}}$ i ett enskilt energiegentillstånd är lika med värdet som förutsägs av en mikrokanonisk ensemble konstruerad på den energiskalan. Detta utgör en grund för kvantstatistisk mekanik som skiljer sig radikalt från den som bygger på begreppen dynamisk ergodicitet.

Tester

Flera numeriska studier av små gittersystem tycks preliminärt bekräfta förutsägelserna av termaliseringshypotesen för egentillstånd i interagerande system som skulle förväntas termaliseras. På samma sätt tenderar system som är integrerbara att inte lyda egentillståndets termaliseringshypotes.

Vissa analytiska resultat kan också erhållas om man gör vissa antaganden om karaktären hos starkt exciterade energiegentillstånd. Den ursprungliga uppsatsen från 1994 om ETH av Mark Srednicki studerade i synnerhet exemplet på en kvanthård sfärgas i en isolerad låda. Detta är ett system som är känt för att uppvisa kaos klassiskt. För tillstånd med tillräckligt hög energi, säger Berrys gissning att energiegenfunktioner i detta mångakroppssystem av hårda sfärpartiklar kommer att verka som superpositioner av plana vågor , med de plana vågorna som går in i superpositionen med slumpmässiga faser och Gauss-fördelade amplituder (den den exakta uppfattningen om denna slumpmässiga överlagring förtydligas i tidningen). Under detta antagande kan man visa att, upp till korrigeringar som är försumbart små i den termodynamiska gränsen , är momentumfördelningsfunktionen för varje enskild, urskiljbar partikel lika med Maxwell-Boltzmann-fördelningen

f_{\rm {MB}}\left(\mathbf {p } ,T_{\alpha }\right)=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}e^{-\mathbf {p} ^{2}/2mkT_{\alpha }},

där $\mathbf {p}$ är partikelns rörelsemängd, m är massan av partiklarna, k är Boltzmann-konstanten och " temperaturen " $T_{\alpha }$ är relaterad till energi för egentillståndet enligt den vanliga tillståndsekvationen för en idealgas ,

E_{\alpha }={\frac {3}{2}}NkT_{\alpha },

där N är antalet partiklar i gasen. Detta resultat är en specifik manifestation av ETH, genom att det resulterar i en förutsägelse för värdet av ett observerbart i ett energiegentillstånd som överensstämmer med förutsägelsen härledd från en mikrokanonisk (eller kanonisk) ensemble. Observera att ingen som helst medelvärdesberäkning över initiala tillstånd har utförts, inte heller har något som liknar H-satsen åberopats. Dessutom kan man också härleda lämpliga Bose-Einstein- eller Fermi-Dirac- fördelningar, om man inför lämpliga kommuteringsrelationer för partiklarna som utgör gasen.

För närvarande är det inte väl förstått hur hög energin i ett egentillstånd hos den hårda sfärgasen måste vara för att den ska lyda ETH. Ett grovt kriterium är att den genomsnittliga termiska våglängden för varje partikel är tillräckligt mindre än radien för de hårda sfärpartiklarna, så att systemet kan undersöka de egenskaper som resulterar i kaos klassiskt (nämligen det faktum att partiklarna har en ändlig storlek) . Det är dock tänkbart att detta tillstånd kan vara avslappnat, och kanske i den termodynamiska gränsen kommer energiegentillstånd av godtyckligt låga energier att tillfredsställa ETH (bortsett från själva grundtillståndet , som krävs för att ha vissa speciella egenskaper, för till exempel avsaknaden av några noder ).

Alternativ

Tre alternativa förklaringar för termalisering av isolerade kvantsystem föreslås ofta:

För initiala tillstånd av fysiskt intresse uppvisar koefficienterna $c_{\alpha }$ stora fluktuationer från egentillstånd till egentillstånd, på ett sätt som är helt okorrelerat med fluktuationerna för $A_{\alpha \ alfa }$ från egentillstånd till egentillstånd. Eftersom koefficienterna och matriselementen är okorrelerade, utför summeringen i den diagonala ensemblen effektivt en opartisk sampling av värdena för $A_{\alpha \alpha }$ över det lämpliga energifönstret. För ett tillräckligt stort system bör denna opartiska sampling resultera i ett värde som är nära det verkliga medelvärdet av värdena för $A_{\alpha \alpha }$ över detta fönster, och kommer effektivt att reproducera förutsägelsen av den mikrokanoniska ensemblen . Denna mekanism kan emellertid missgynnas av följande heuristiska skäl. Vanligtvis är man intresserad av fysiska situationer där det initiala förväntade värdet för ${\hat {A}}$ är långt ifrån dess jämviktsvärde. För att detta ska vara sant måste initialtillståndet innehålla någon sorts specifik information om ${\displaystyle {\hat {A}}} ,$ och det blir därför misstänkt om det initiala tillståndet verkligen representerar ett opartiskt urval av värdena eller inte av $A_{\alpha \alpha }$ över lämpligt energifönster. Dessutom, oavsett om detta skulle vara sant eller inte, ger det fortfarande inget svar på frågan om när godtyckliga initiala tillstånd kommer att komma till jämvikt, om de någonsin gör det.
är koefficienterna ${\displaystyle c_{\alpha }} i praktiken$ konstanta och fluktuerar inte alls. I det här fallet är den diagonala ensemblen exakt densamma som den mikrokanoniska ensemblen, och det finns inget mysterium om varför deras förutsägelser är identiska. Denna förklaring är emellertid ogynnsam av ungefär samma skäl som den första.
Integrerbara kvantsystem har visat sig termaliseras under villkor av enkelt regelbundet tidsberoende av parametrar, vilket tyder på att kosmologisk expansion av universum och integrerbarheten av de mest grundläggande rörelseekvationerna är ytterst ansvariga för termalisering.

Temporala fluktuationer av väntevärden

Villkoret som ETH ställer på de diagonala elementen i en observerbar är ansvarig för att förutsägelserna för den diagonala och mikrokanoniska ensemblen är lika. Likheten mellan dessa långtidsmedelvärden garanterar dock inte att fluktuationerna i tiden kring detta medelvärde blir små. Det vill säga, likheten mellan långtidsmedelvärdena säkerställer inte att förväntningsvärdet för ${\hat {A}}$ kommer att sjunka till detta långtidsmedelvärde och sedan stanna där under de flesta gånger .

För att härleda de villkor som är nödvändiga för att det observerbara förväntansvärdet ska uppvisa små tidsfluktuationer kring dess tidsgenomsnitt, studerar vi medelkvadratamplituden för de tidsmässiga fluktuationerna, definierade som

{\overline {\left(A_{t}-{\overline {A} }\right)^{2}}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(A_{ t}-{\overline {A}}\right)^{2}dt,

där $A_{t}$ är en förkortning för förväntningsvärdet för ${\hat {A}}$ vid tidpunkten t. Detta uttryck kan beräknas explicit, och man finner det

{\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}=\summa _{\alpha \neq \beta }|c_{\alpha }| ^{2}|c_{\beta}|^{2}|A_{\alpha \beta}|^{2}.

Temporala fluktuationer kring långtidsgenomsnittet kommer att vara små så länge som de off-diagonala elementen uppfyller de villkor som ställs på dem av ETH, nämligen att de blir exponentiellt små i systemstorleken. Lägg märke till att detta tillstånd tillåter möjligheten till isolerade återupplivningstider , där faserna anpassas samman för att producera stora fluktuationer bort från långtidsgenomsnittet. Mängden tid som systemet tillbringar långt borta från långtidsgenomsnittet är garanterat liten så länge som ovanstående medelkvadratamplitud är tillräckligt liten. Om ett system uppvisar en dynamisk symmetri, kommer det dock periodvis att svänga runt långtidsgenomsnittet.

Kvantfluktuationer och termiska fluktuationer

Förväntningsvärdet för en kvantmekanisk observerbar representerar medelvärdet som skulle mätas efter att ha utfört upprepade mätningar på en ensemble av identiskt förberedda kvanttillstånd. Därför, medan vi har undersökt detta förväntningsvärde som det huvudsakliga intresseobjektet, är det inte klart i vilken utsträckning detta representerar fysiskt relevanta storheter. Som ett resultat av kvantfluktuationer är förväntningsvärdet för en observerbar normalt inte det som kommer att mätas under ett experiment på ett isolerat system . Det har dock visat sig att för en observerbar tillfredsställande av ETH kommer kvantfluktuationer i dess förväntade värde typiskt att vara av samma storleksordning som de termiska fluktuationerna som skulle förutsägas i en traditionell mikrokanonisk ensemble . Detta ger ytterligare tilltro till idén att ETH är den underliggande mekanismen som är ansvarig för termaliseringen av isolerade kvantsystem.

Allmän giltighet

För närvarande finns det ingen känd analytisk härledning av egentillståndets termaliseringshypotes för generella interagerande system. Det har dock verifierats att det är sant för en mängd olika interagerande system som använder numeriska exakta diagonaliseringstekniker , inom osäkerheten för dessa metoder. Det har också visat sig vara sant i vissa speciella fall i den semi-klassiska gränsen, där giltigheten av ETH vilar på giltigheten av Shnirelmans teorem, som säger att i ett system som är klassiskt kaotiskt, förväntasvärdet av en operator ${\hat {A}}$ i ett energiegentillstånd är lika med dess klassiska, mikrokanoniska medelvärde vid lämplig energi. Huruvida det kan visas vara sant mer generellt i interagerande kvantsystem är fortfarande en öppen fråga. Det är också känt att explicit misslyckas i vissa integrerbara system , där närvaron av ett stort antal rörelsekonstanter förhindrar termalisering .

Det är också viktigt att notera att ETH gör uttalanden om specifika observerbara från fall till fall - den gör inga påståenden om huruvida varje observerbar i ett system kommer att lyda ETH. I själva verket kan detta absolut inte vara sant. Givet en bas av energiegentillstånd kan man alltid explicit konstruera en operator som bryter mot ETH, helt enkelt genom att skriva ner operatorn som en matris i denna bas vars element uttryckligen inte följer de villkor som ETH:n ställer. Omvänt är det alltid trivialt möjligt att hitta operatorer som uppfyller ETH, genom att skriva ner en matris vars element är specifikt valda för att lyda ETH. I ljuset av detta kan man förledas att tro att ETH är något trivial i sin användbarhet. Det viktiga att tänka på är dock att dessa operatörer som är konstruerade på detta sätt kanske inte har någon fysisk relevans. Även om man kan konstruera dessa matriser, är det inte klart att de motsvarar observerbara värden som skulle kunna mätas realistiskt i ett experiment, eller har någon likhet med fysiskt intressanta storheter. En godtycklig hermitisk operatör på Hilbert-utrymmet i systemet behöver inte motsvara något som är fysiskt mätbart observerbart.

Vanligtvis postuleras ETH hålla för "få kroppsoperatörer", observerbara objekt som endast involverar ett litet antal partiklar. Exempel på detta skulle inkludera ockupationen av ett givet momentum i en gas av partiklar, eller ockupationen av en viss plats i ett gittersystem av partiklar. Observera att även om ETH vanligtvis används för "enkla" fåkroppsoperatorer som dessa, behöver dessa observerbara inte vara lokala i rymden - momentumnummeroperatorn i exemplet ovan representerar inte en lokal storhet .

Det har också funnits ett stort intresse för fallet där isolerade, icke-integrerbara kvantsystem misslyckas med att termalisera, trots förutsägelserna från konventionell statistisk mekanik. Oordnade system som uppvisar många kroppslokaliseringar är kandidater för denna typ av beteende, med möjligheten till exciterade energiegentillstånd vars termodynamiska egenskaper mer liknar grundtillståndens. Det är fortfarande en öppen fråga om huruvida ett fullständigt isolerat, icke-integrerbart system utan statisk störning någonsin kan misslyckas med att termalisera. En spännande möjlighet är förverkligandet av "Quantum Disentangled Liquids". Det är också en öppen fråga om alla egentillstånd måste lyda ETH i ett termaliserande system.

Egentillståndets termaliseringshypotes är nära kopplad till kaosets kvantkaraktär (se kvantkaos) . Dessutom, eftersom ett klassiskt kaotiskt system också är ergodiskt, utforskar nästan alla dess banor så småningom hela det tillgängliga fasutrymmet enhetligt, vilket skulle innebära att egentillstånden för det kvantkaotiska systemet fyller kvantfasrummet jämnt (upp till slumpmässiga fluktuationer) i det semiklassiska systemet. limit $\hbar \rightarrow 0$ . Speciellt finns det en kvantergodicitetssats som visar att förväntningsvärdet för en operator konvergerar till motsvarande mikrokanoniska klassiska medelvärde som $\hbar \rightarrow 0$ . Emellertid lämnar kvantergodicitetssatsen möjligheten för icke-ergodiska tillstånd som kvantärr öppen . Förutom den konventionella ärrbildningen finns det två andra typer av kvantärrbildning, som ytterligare illustrerar det svaga ergodicitetsbrottet i kvantkaotiska system: störningsinducerade och mångakroppsliga kvantärr. Eftersom de förra uppstår en kombinerad effekt av speciella nästan degenererade opåverkade tillstånd och störningens lokaliserade karaktär (potentiella bums), kan ärrbildningen bromsa upp termaliseringsprocessen i oordnade kvantprickar och brunnar, vilket ytterligare illustreras av det faktum att dessa kvantärr kan användas för att sprida kvantvågspaket i en oordnad nanostruktur med hög trohet. Å andra sidan har den senare formen av ärrbildning spekulerats vara boven bakom den oväntat långsamma termaliseringen av kalla atomer som observerats experimentellt.

Se även

Fotnoter

externa länkar

"Overview of Eigenstate Thermalization Hypothesis" av Mark Srednicki, UCSB, KITP Program: Quantum Dynamics in Far from Equilibrium Thermally Isolated Systems
"The Eigenstate Thermalization Hypothesis" av Mark Srednicki, UCSB, KITP Rapid Response Workshop: Black Holes: Complementarity, Fuzz, or Fire?
"Quantum Disentangled Liquids" av Matthew PA Fisher, UCSB, KITP Conference: From the Renormalization Group to Quantum Gravity Firar vetenskapen om Joe Polchinski