Hydrodynamisk stabilitet

Ett enkelt diagram över övergången från ett stabilt flöde till ett turbulent flöde. a) stabil, b) turbulent

Inom vätskedynamik är hydrodynamisk stabilitet det fält som analyserar stabiliteten och början av instabilitet hos vätskeflöden . Studiet av hydrodynamisk stabilitet syftar till att ta reda på om ett givet flöde är stabilt eller instabilt, och i så fall hur dessa instabiliteter kommer att orsaka utveckling av turbulens . Grunden för hydrodynamisk stabilitet, både teoretisk och experimentell, lades framför allt av Helmholtz , Kelvin , Rayleigh och Reynolds under artonhundratalet. Dessa grunder har gett många användbara verktyg för att studera hydrodynamisk stabilitet. Dessa inkluderar Reynolds nummer , Euler-ekvationerna och Navier-Stokes-ekvationerna . När man studerar flödesstabilitet är det användbart att förstå mer enkla system, t.ex. inkompressibla och inviscida vätskor som sedan kan utvecklas vidare till mer komplexa flöden. Sedan 1980-talet har fler beräkningsmetoder använts för att modellera och analysera de mer komplexa flödena.

Stabila och instabila flöden

För att skilja mellan de olika tillstånden av vätskeflöde måste man överväga hur vätskan reagerar på en störning i initialtillståndet. Dessa störningar kommer att relatera till systemets initiala egenskaper, såsom hastighet , tryck och densitet . James Clerk Maxwell uttryckte det kvalitativa konceptet stabilt och instabilt flöde fint när han sa:

"när en oändligt liten variation av det nuvarande tillståndet endast med en oändligt liten kvantitet kommer att förändra tillståndet vid någon framtida tidpunkt, sägs systemets tillstånd, vare sig det är i vila eller i rörelse, vara stabilt men när en oändligt liten variation i det nuvarande tillståndet kan åstadkomma en ändlig skillnad i systemets tillstånd under en begränsad tid, systemet sägs vara instabilt."

Det betyder att för ett stabilt flöde kommer varje oändligt liten variation, som betraktas som en störning, inte att ha någon märkbar effekt på systemets initiala tillstånd och så småningom dämpas med tiden. För att ett vätskeflöde ska anses vara stabilt måste det vara stabilt med avseende på alla möjliga störningar. Detta innebär att det inte finns något störningssätt för vilket det är instabilt.

Å andra sidan, för ett instabilt flöde, kommer eventuella variationer att ha en märkbar effekt på systemets tillstånd som då skulle få störningen att växa i amplitud på ett sådant sätt att systemet successivt avviker från det initiala tillståndet och aldrig återgår till Det. Detta betyder att det finns åtminstone ett störningssätt med avseende på vilket flödet är instabilt, och störningen kommer därför att förvränga den befintliga kraftjämvikten.

Bestämma flödesstabilitet

Reynolds nummer

Ett nyckelverktyg som används för att bestämma stabiliteten hos ett flöde är Reynolds-talet (Re), som först lades fram av George Gabriel Stokes i början av 1850-talet. Associerat med Osborne Reynolds som vidareutvecklade idén i början av 1880-talet, ger detta dimensionslösa tal förhållandet mellan tröghetstermer och viskösa termer. I fysisk mening är detta tal ett förhållande mellan de krafter som beror på vätskans rörelsemängd (tröghetstermer), och de krafter som uppstår från den relativa rörelsen av de olika skikten i en strömmande vätska (viskösa termer). Ekvationen för detta är

R_{e}={\frac {\text{tröghet}}{\text{viskös}}}={\ frac {\rho u^{2}}{\frac {\mu u}{L}}}={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}

var

\rho ={\text{densitet}}

{\text{u}}={\text{vätskeflödets hastighet}}

\mu ={\text{dynamisk viskositet}}

– mäter vätskemotståndet mot skjuvflöden

{\text{L}}={\text{karakteristisk längd}}

{\displaystyle \nu ={\text{kinematisk viskositet}}={\frac {\mu }{\rho }}} – mäter

förhållandet mellan dynamisk viskositet och vätskans densitet

Reynolds-numret är användbart eftersom det kan ge brytpunkter för när flödet är stabilt eller instabilt, nämligen det kritiska Reynolds-talet $R_{c}$ . När den ökar blir amplituden för en störning som sedan kan leda till instabilitet mindre. Vid höga Reynolds-tal är man överens om att vätskeflödena kommer att vara instabila. Höga Reynolds-tal kan uppnås på flera sätt, t.ex. om $\mu$ är ett litet värde eller om $\rho$ och ${\text{u}}$ är höga värden. Detta innebär att instabiliteter uppstår nästan omedelbart och flödet blir instabilt eller turbulent.

Navier–Stokes ekvation och kontinuitetsekvationen

För att analytiskt kunna hitta stabiliteten hos vätskeflöden är det användbart att notera att hydrodynamisk stabilitet har mycket gemensamt med stabilitet inom andra områden, såsom magnetohydrodynamik , plasmafysik och elasticitet ; även om fysiken är olika i varje enskilt fall, är matematiken och de tekniker som används likartade. Det väsentliga problemet modelleras av icke-linjära partiella differentialekvationer och stabiliteten hos kända stadiga och instabila lösningar undersöks. De styrande ekvationerna för nästan alla hydrodynamiska stabilitetsproblem är Navier–Stokes-ekvationen och kontinuitetsekvationen . Navier–Stokes ekvation ges av:

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\ mathbf {u} =-\nabla p_{0}+\mathbf {b} .

var

$\mathbf {u} ={\text{vätskehastighetsfält}}$
$p_{0}={\text{vätsketrycket}}$
$\mathbf {b} ={\text{kroppskraft som verkar på vätska t.ex. gravitation}}$
$\nu ={\text{kinematisk viskositet}}$
${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}={\text{partiell derivata av hastighetsfältet med avseende på tid}}$
$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y} },{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

Här används ${\displaystyle \nabla } som en$ operator som verkar på hastighetsfältet på vänster sida av ekvationen och sedan verkar på trycket på höger sida.

och kontinuitetsekvationen ges av:

{\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}+\rho \,\nabla \cdot \mathbf {u} =0

var

${\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}={\text{materialderivata av densiteten}}$

Återigen används ${\displaystyle \nabla } som operator på$ $\mathbf {u}$ och beräknar hastighetens divergens .

men om vätskan som betraktas är inkompressibel , vilket betyder att densiteten är konstant, då ${\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}=0$ och därmed:

\nabla \cdot \mathbf {u} =0

Antagandet att ett flöde är inkompressibelt är bra och gäller för de flesta vätskor som rör sig vid de flesta hastigheter. Det är antaganden av denna form som kommer att hjälpa till att förenkla Navier–Stokes-ekvationen till differentialekvationer, som Eulers ekvation, som är lättare att arbeta med.

Eulers ekvation

Om man betraktar ett flöde som är oskadigt, det är här de viskösa krafterna är små och därför kan försummas i beräkningarna, då kommer man fram till Eulers ekvationer :

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla p_{0}

Även om vi i det här fallet har antagit en inviscid vätska, gäller detta antagande inte för flöden där det finns en gräns. Närvaron av en gräns orsakar viss viskositet vid gränsskiktet som inte kan försummas och man kommer tillbaka till Navier–Stokes ekvation. Att hitta lösningarna på dessa styrande ekvationer under olika omständigheter och bestämma deras stabilitet är den grundläggande principen för att bestämma stabiliteten hos själva vätskeflödet.

Linjär stabilitetsanalys

För att avgöra om flödet är stabilt eller instabilt använder man ofta metoden linjär stabilitetsanalys. I denna typ av analys är de styrande ekvationerna och randvillkoren linjäriserade. Detta bygger på att begreppet 'stabil' eller 'instabil' bygger på en oändligt liten störning. För sådana störningar är det rimligt att anta att störningar av olika våglängder utvecklas oberoende. (En icke-linjär styrande ekvation kommer att tillåta störningar av olika våglängder att interagera med varandra.)

Analysera flödesstabilitet

Bifurkationsteori

Bifurkationsteori är ett användbart sätt att studera stabiliteten hos ett givet flöde, med de förändringar som sker i strukturen av ett givet system. Hydrodynamisk stabilitet är en serie differentialekvationer och deras lösningar. En bifurkation uppstår när en liten förändring i systemets parametrar orsakar en kvalitativ förändring i dess beteende. Parametern som ändras när det gäller hydrodynamisk stabilitet är Reynolds-talet. Det kan visas att förekomsten av bifurkationer faller i linje med förekomsten av instabiliteter.

Laboratorie- och beräkningsexperiment

Laboratorieexperiment är ett mycket användbart sätt att få information om ett givet flöde utan att behöva använda mer komplexa matematiska tekniker. Ibland är det lika användbart att fysiskt se förändringen i flödet över tid som ett numeriskt tillvägagångssätt och eventuella resultat från dessa experiment kan relateras tillbaka till den underliggande teorin. Experimentell analys är också användbar eftersom den gör att man kan variera de styrande parametrarna mycket enkelt och deras effekter blir synliga.

När man hanterar mer komplicerade matematiska teorier som Bifurkationsteori och Svagt icke-linjär teori, blir det mycket svårt och tidskrävande att lösa sådana problem numeriskt, men med hjälp av datorer blir denna process mycket enklare och snabbare. Sedan 1980-talet har beräkningsanalys blivit mer och mer användbar, förbättringen av algoritmer som kan lösa de styrande ekvationerna, såsom Navier–Stokes ekvation, gör att de kan integreras mer exakt för olika typer av flöden.

Ansökningar

Kelvin–Helmholtz instabilitet

Detta är en bild, tagen i San Francisco, som visar det "havvåg"-liknande mönstret associerat med Kelvin-Helmholtz-instabiliteten som bildas i moln.

Kelvin –Helmholtz-instabiliteten (KHI) är en tillämpning av hydrodynamisk stabilitet som kan ses i naturen. Det uppstår när det finns två vätskor som strömmar med olika hastigheter. Skillnaden i vätskornas hastighet orsakar en skjuvhastighet vid gränsytan mellan de två skikten. Skjuvhastigheten för en vätska som rör sig inducerar en skjuvspänning på den andra som, om den är större än den begränsande ytspänningen , sedan resulterar i en instabilitet längs gränsytan mellan dem. Denna rörelse orsakar uppkomsten av en serie vältande havsvågor, ett kännetecken för Kelvin-Helmholtz instabilitet. Den skenbara havsvågliknande naturen är faktiskt ett exempel på virvelbildning , som bildas när en vätska roterar kring någon axel, och är ofta förknippad med detta fenomen.

Kelvin–Helmholtz-instabiliteten kan ses i banden i planetariska atmosfärer som Saturnus och Jupiter , till exempel i den jättelika röda fläckvirveln. I atmosfären som omger den jättelika röda fläcken finns det största exemplet på KHI som man känner till och som orsakas av skjuvkraften i gränsytan mellan de olika lagren av Jupiters atmosfär. Det har tagits många bilder där de havsvågliknande egenskaperna som diskuterats tidigare kan ses tydligt, med så många som 4 skjuvlager synliga.

Vädersatelliter utnyttjar denna instabilitet för att mäta vindhastigheter över stora vattendrag. Vågor genereras av vinden, som skär vattnet i gränsytan mellan den och den omgivande luften. Datorerna ombord på satelliterna bestämmer havets grovhet genom att mäta våghöjden. Detta görs genom att använda radar , där en radiosignal sänds till ytan och fördröjningen från den reflekterade signalen registreras, känd som "flygtiden". Från detta kan meteorologer förstå molnens rörelse och den förväntade luftturbulensen nära dem.

Rayleigh-Taylor instabilitet

Detta är en 2D-modell av Rayleigh–Taylors instabilitet som uppstår mellan två vätskor. I denna modell representerar den röda vätskan – först på toppen och sedan under – en mer tät vätska och den blå vätskan en som är mindre tät.

Rayleigh -Taylor-instabiliteten är en annan tillämpning av hydrodynamisk stabilitet och förekommer också mellan två vätskor, men den här gången är vätskornas densitet olika. På grund av skillnaden i densiteter kommer de två vätskorna att försöka minska sin kombinerade potentiella energi . Den mindre täta vätskan kommer att göra detta genom att försöka tvinga sig uppåt, och den mer täta vätskan kommer att försöka tvinga sig neråt. Därför finns det två möjligheter: om den lättare vätskan är på toppen sägs gränssnittet vara stabilt, men om den tyngre vätskan är på toppen, då är systemets jämvikt instabil för eventuella störningar i gränssnittet. Om så är fallet kommer båda vätskorna att börja blandas. När en liten mängd tyngre vätska förskjuts nedåt med en lika stor volym lättare vätska uppåt, är den potentiella energin nu lägre än initialtillståndet, därför kommer störningen att växa och leda till det turbulenta flödet som är förknippat med Rayleigh-Taylor-instabiliteter.

Detta fenomen kan ses i interstellär gas , som krabbanebulosan . Den skjuts ut ur det galaktiska planet av magnetfält och kosmiska strålar och blir sedan Rayleigh–Taylor instabil om den skjuts förbi sin normala skalhöjd . Denna instabilitet förklarar också svampmolnet som bildas i processer som vulkanutbrott och atombomber.

Rayleigh–Taylors instabilitet har en stor effekt på jordens klimat. Vindar som kommer från Grönlands och Islands kust orsakar avdunstning av havsytan över vilken de passerar, vilket ökar salthalten i havsvattnet nära ytan och gör vattnet nära ytan tätare. Detta genererar sedan plymer som driver havsströmmarna . Denna process fungerar som en värmepump som transporterar varmt ekvatorialvatten norrut. Utan att havet välter norra Europa sannolikt möta drastiska temperatursänkningar.

Se även

Anteckningar

Drazin, PG (2002), Introduktion till hydrodynamisk stabilitet , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00965-2
Chandrasekhar, S. (1961), Hydrodynamisk och hydromagnetisk stabilitet , Dover, ISBN 978-0-486-64071-6
Charru, F. (2011), Hydrodynamic instabilities , Cambridge University Press, ISBN 978-1139500548
Godreche, C.; Manneville, P., red. (1998), Hydrodynamics and nonlinar instabilities , Cambridge University Press, ISBN 978-0521455039
Lin, CC (1966), Theory of hydrodynamic stabilitet (korrigerad utg.), Cambridge University Press, OCLC 952854
Swinney, HL; Gollub, JP (1985), Hydrodynamic instabilities and the transition to turbulence (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-13319-3
Happel, J.; Brenner, H. (2009), Low Reynolds number hydrodynamics (2nd ed.), ISBN 978-9024728770
Foias, C.; Manley, O.; Rosa, R.; Teman, R. (2001), Navier–Stokes ekvationer och turbulens , Cambridge University Press, ISBN 978-8126509430
Panton, RL (2006), Incompressible Flow (3:e upplagan), Wiley India, ISBN 978-8126509430
Johnson, Jay R.; Vinge, Simon; Delamere, Peter A. (2014), "Kelvin–Helmholtz instability in planetary magnetospheres", Space Science Reviews , 184 (1–4): 1–31, Bibcode : 2014SSRv..184....1J , doi : 10.1007/ s11214-014-0085-z

externa länkar

"Flödesinstabilitet" . National Committee for Fluid Mechanics Films (NCFMF) . Hämtad 9 mars 2009 .
"Avancerade instabilitetsmetoder (AIM) nätverk" . olika författare. Arkiverad från originalet den 21 februari 2015 . Hämtad 12 maj 2013 .
Shankar, V (2014). "Introduktion till hydrodynamisk stabilitet" (PDF) . Institutionen för matematik, IIT Kanpur . Hämtad 31 oktober 2015 .