Taylor–Couette-flöde

Installation av ett Taylor-Couette-system

Inom vätskedynamik består Taylor -Couette-flödet av en viskös vätska som är innesluten i gapet mellan två roterande cylindrar. För låga vinkelhastigheter, mätt med Reynolds-talet Re , är flödet stadigt och rent azimutalt . Detta grundläggande tillstånd är känt som cirkulärt Couette-flöde , efter Maurice Marie Alfred Couette, som använde denna experimentella enhet som ett sätt att mäta viskositet . Sir Geoffrey Ingram Taylor undersökte stabiliteten i Couette-flödet i ett banbrytande papper. Taylors papper blev en hörnsten i utvecklingen av hydrodynamisk stabilitetsteori och visade att det halkfria tillståndet, som var i tvist av det vetenskapliga samfundet vid den tiden, var det korrekta gränsvillkoret för viskösa flöden vid en fast gräns.

Taylor visade att när vinkelhastigheten för den inre cylindern ökas över ett visst tröskelvärde, blir Couette-flödet instabilt och ett sekundärt stabilt tillstånd kännetecknat av axisymmetriska toroidala virvlar, känd som Taylor-virvelflöde, uppstår . Därefter, vid ökning av cylinderns vinkelhastighet, genomgår systemet en progression av instabiliteter som leder till tillstånd med större spatio-temporal komplexitet, där nästa tillstånd kallas vågigt virvelflöde . Om de två cylindrarna roterar i motsatt riktning uppstår ett spiralvirvelflöde . Bortom ett visst Reynoldsnummer börjar turbulensen .

Circular Couette flow har breda tillämpningar som sträcker sig från avsaltning till magnetohydrodynamik och även i viskosimetrisk analys. Olika flödesregimer har kategoriserats under åren, inklusive vridna Taylorvirvlar och vågiga utflödesgränser. Det har varit ett väl undersökt och dokumenterat flöde i vätskedynamik.

Flödesbeskrivning

Ett enkelt Taylor-Couette-flöde är ett jämnt flöde som skapas mellan två roterande oändligt långa koaxialcylindrar. Eftersom cylinderlängderna är oändligt långa är flödet väsentligen enkelriktat i stationärt tillstånd. Om den inre cylindern med radie $R_{1}$ roterar med konstant vinkelhastighet $\Omega _{1}$ och den yttre cylindern med radie $R_{2}$ roterar med konstant vinkelhastighet $\Omega _{2}$ som visas i figuren, då ges den azimutala hastighetskomponenten av

$v_{\theta }=Ar+{\frac { B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _ {1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}$

var

$\mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_ {1}}{R_{2}}}$ .

Rayleighs kriterium

Lord Rayleigh studerade stabiliteten av problemet med inviscid antagande, dvs störande Euler-ekvationer . Kriteriet anger att i frånvaro av viskositet är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för att fördelningen av azimuthastigheten $v_{\theta }(r)$ ska vara stabil.

${\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0$

överallt i intervallet; och vidare att fördelningen är instabil om $(rv_{\theta })^{2}$ skulle minska någonstans i intervallet. Sedan $|rv_{\theta }|$ representerar rörelsemängd per massenhet för ett flytande element kring rotationsaxeln, ett alternativt sätt att ange kriteriet är: en skiktning av rörelsemängdsrörelsen kring en axel är stabil om och om bara den ökar monotont utåt.

Taylor vortex

Strömlinjer som visar Taylor-Couette-virvlar i det radiella-vertikala planet, vid Re = 950

Taylorvirvlar (även uppkallade efter Sir Geoffrey Ingram Taylor ) är virvlar som bildas i ett roterande Taylor–Couette-flöde när Taylor-talet ( $\mathrm {Ta}$ ) för flödet överstiger ett kritiskt värde $\mathrm {Ta_{c}}$ .

För flöde i vilket

$\mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,$

instabiliteter i flödet föreligger inte, dvs störningar i flödet dämpas av viskösa krafter och flödet är stabilt. Men eftersom $\mathrm {Ta}$ överstiger $\mathrm {Ta_{c}}$ , uppstår axisymmetriska instabiliteter. Naturen hos dessa instabiliteter är ett utbyte av stabiliteter (snarare än en överstabilitet), och resultatet är inte turbulens utan snarare ett stabilt sekundärt flödesmönster som uppstår där stora toroidformade virvlar bildas i flöde, staplade ovanpå varandra . Dessa är Taylorvirvlarna. Medan vätskemekaniken för det ursprungliga flödet är instabil när ${\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} } ,$ nya flödet, kallat Taylor–Couette-flöde , med Taylor-virvlarna närvarande, är faktiskt stadigt tills flödet når ett stort Reynolds-tal , vid vilken punkt flödet övergår till ett ostadigt "vågigt virvelflöde", vilket antagligen indikerar närvaron av icke-axisymmetriska instabiliteter.

Det idealiserade matematiska problemet ställs genom att välja ett särskilt värde på ${\displaystyle \mu } ,$ η $\displaystyle \eta }$ och $\mathrm {Ta}$ . Som $\eta \rightarrow 1$ och $\mu \rightarrow 0$ underifrån, är det kritiska Taylortalet ${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \ simeq 1708$ }

Gollub–Swinney cirkulärt Couette-experiment

1975 publicerade JP Gollub och HL Swinney en artikel om uppkomsten av turbulens i roterande vätska. I ett Taylor-Couette-flödessystem observerade de att när rotationshastigheten ökar, skiktas vätskan till en hög med "vätskemunkar". Med ytterligare ökningar i rotationshastigheten svänger munkarna och vrider sig och blir slutligen turbulenta. Deras studie hjälpte till att etablera Ruelle-Takens-scenariot i turbulens, vilket är ett viktigt bidrag från Floris Takens och David Ruelle för att förstå hur hydrodynamiska system övergår från stabila flödesmönster till turbulenta. Medan den huvudsakliga, styrande faktorn för denna övergång är Reynolds-talet , finns det andra viktiga påverkande faktorer: om flödet är öppet (vilket betyder att det finns en lateral upp- och nedströms) eller stängd (flödet är lateralt bundet; t.ex. roterande), och begränsad (påverkad av väggeffekter) eller obegränsad (inte påverkad av väggeffekter). Enligt denna klassificering är Taylor-Couette-flödet ett exempel på ett flödesmönster som bildas i ett slutet, avgränsat flödessystem.

Vidare läsning

•   Chossat, P.; Ioos, G. (1992). Couette–Taylor-problemet . Tillämpade matematiska vetenskaper. Vol. 102. Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-4300-7 . ISBN 978-0387941547 .
•   Koschmieder, EL (1993). Bénard Cells och Taylor Vortices . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40204-0 .