Yta av klass VII

Inom matematik är ytor av klass VII icke-algebraiska komplexa ytor som studerats av (Kodaira 1964 , 1968 ) som har Kodaira-dimension −∞ och första Betti nummer 1. Minimala ytor av klass VII (de utan rationella kurvor med självskärning −1 ) kallas ytor av klass VII 0 . Varje klass VII-yta är birational till en unik minimal klass VII-yta och kan erhållas från denna minimala yta genom att spränga punkter ett ändligt antal gånger.

0000 Namnet "klass VII" kommer från ( Kodaira 1964 , sats 21), som delade in minimala ytor i 7 klasser numrerade I till VII . Kodairas klass VII hade dock inte villkoret att Kodaira-dimensionen är −∞, utan hade istället villkoret att det geometriska släktet är 0. Som ett resultat av detta inkluderade hans klass VII även några andra ytor, såsom sekundära Kodaira-ytor , som är anses inte längre vara klass VII eftersom de inte har Kodaira-dimension −∞. De minimala ytorna i klass VII är klassen numrerad "7" på listan över ytor i ( Kodaira 1968 , sats 55).

Invarianter

Oregelbundenheten q är 1, och h 1,0 = 0. Alla plurigener är 0.

Hodge diamant:

1
0 1
0 b 2 0
1 0
1

Exempel

Hopf-ytor är kvoter av C 2 −(0,0) av en diskret grupp G som verkar fritt och har försvinnande andra Betti-tal. Det enklaste exemplet är att ta G som heltal, som fungerar som multiplikation med 2 potenser; motsvarande Hopf-yta är diffeomorf till S 1 × S 3 .

Inoue-ytor är vissa klass VII-ytor vars universella täckning är C × H där H är det övre halvplanet (så de är kvoter av detta med en grupp automorfismer). De har försvinnande andra Betti-nummer.

Inoue–Hirzebruch-ytor , Enoki-ytor och Kato-ytor ger exempel på typ VII-ytor med b 2 > 0.

Klassificering och globala sfäriska skal

De minimala klass VII-ytorna med andra Betti-talet b 2 =0 har klassificerats av Bogomolov ( 1976 , 1982 ) och är antingen Hopf-ytor eller Inoue-ytor . De med b 2 =1 klassificerades av Nakamura (1984b) under ett ytterligare antagande att ytan har en kurva, vilket senare bevisades av Teleman (2005) .

0 Ett globalt sfäriskt skal ( Kato 1978 ) är en slät 3-sfär i ytan med sammanhängande komplement, med ett grannskap som är biholomorft till ett område av en sfär i C 2 . Den globala sfäriska skalförmodan hävdar att alla klass VII- ytor med positivt andra Betti-nummer har ett globalt sfäriskt skal. Förgreningarna med ett globalt sfäriskt skal är alla Kato-ytor som är någorlunda väl förstådda, så ett bevis på denna gissning skulle leda till en klassificering av typ VII-ytorna.

En klass VII-yta med positivt andra Betti-tal b 2 har som mest b 2 rationella kurvor, och har exakt detta nummer om den har ett globalt sfäriskt skal. Omvänt visade Georges Dloussky, Karl Oeljeklaus och Matei Toma ( 2003 ) att om en minimal klass VII-yta med positivt andra Betti-tal b 2 har exakt b 2 rationella kurvor så har den ett globalt sfäriskt skal.

För typ VII-ytor med försvinnande andra Betti-nummer har de primära Hopf-ytorna ett globalt sfäriskt skal, men sekundära Hopf-ytor och Inoue-ytor gör det inte eftersom deras fundamentala grupper inte är oändliga cykliska. Att spränga punkter på de senare ytorna ger icke-minimala klass VII-ytor med positivt andra Betti-tal som inte har sfäriska skal.

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Surface_of_class_VII&oldid=1048351907 "