Hopf grenrör

I komplex geometri erhålls ett Hopf-grenrör ( Hopf 1948 ) som en kvot av det komplexa vektorutrymmet (med noll raderad) $({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)$ av en fri åtgärd av gruppen $\Gamma \cong {\mathbb {Z} }$ av heltal , med generatorn $\gamma$ av $\Gamma$ verkande av holomorphic sammandragningar . Här är en holomorf sammandragning en karta ${\displaystyle \gamma :\;{\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }^{n}} så$ att en tillräckligt stor iteration $\;\gamma ^{N}$ mappar en given kompakt delmängd av ${\mathbb {C} }^{n}$ till ett godtyckligt litet område på 0.

Tvådimensionella Hopf-grenrör kallas Hopf-ytor .

Exempel

I en typisk situation genereras ${\displaystyle \Gamma } av en linjär kontraktion, vanligtvis en$ diagonal matris $q\cdot Id$ , med $q\in {\mathbb { C} }$ ett komplext tal, $0<|q|<1$ . Sådant grenrör kallas ett klassiskt Hopf grenrör .

Egenskaper

En Hopf-grenrör $H:=({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)/{\mathbb {Z} }$ är diffeomorf till $S^{2n-1}\ gånger S^{1}$ . För $n\geq 2$ är det icke- Kähler . I själva verket är det inte ens symplektiskt eftersom den andra kohomologigruppen är noll.

Hyperkomplex struktur

Jämndimensionella Hopf-grenrör medger hyperkomplex struktur . Hopf-ytan är det enda kompakta hyperkomplexa grenröret med kvaternionisk dimension 1 som inte är hyperkähler .

•   Hopf, Heinz (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Studies and Essays Presented to R. Courant on his 60th Birthday, 8 januari 1948, Interscience Publishers, Inc., New York, s. 167–185, MR 0023054
• Ornea, Liviu (2001) [1994], "Hopf manifold" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press