Bogoliubov transformation

Inom teoretisk fysik utvecklades Bogoliubov -transformationen , även känd som Bogoliubov-Valatin-transformationen , oberoende 1958 av Nikolay Bogolyubov och John George Valatin för att hitta lösningar av BCS-teorin i ett homogent system. Bogoliubov-transformationen är en isomorfism av antingen den kanoniska kommutationsrelationens algebra eller den kanoniska antikommutationsrelationens algebra . Detta inducerar en autoekvivalens på respektive representationer. Bogoliubov-transformationen används ofta för att diagonalisera Hamiltonians , vilket ger de stationära lösningarna av motsvarande Schrödinger-ekvation . Bogoliubov-transformationen är också viktig för att förstå Unruh-effekten , Hawking-strålning , parningseffekter inom kärnfysik och många andra ämnen.

Bogoliubov-transformationen används ofta för att diagonalisera Hamiltonians, med en motsvarande transformation av tillståndsfunktionen. Operatoregenvärden beräknade med den diagonaliserade Hamiltonianen på den transformerade tillståndsfunktionen är således desamma som tidigare.

Enkelt bosoniskt läge exempel

Betrakta den kanoniska kommuteringsrelationen för bosoniska skapande och förintelseoperatorer i den harmoniska basen

$\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dolk }\right]=1.$

Definiera ett nytt par av operatorer

${\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dolk },$

${\hat {b}}^{\dolk }=u^{*}{\hat {a}}^{\dolk }+v^{* }{\hat {a}},$

för komplexa tal u och v , där det senare är det hermitiska konjugatet av det första.

Bogoliubov-transformationen är den kanoniska transformationen som kartlägger operatorerna ${\hat {a}}$ och ${\hat {a}}^{\dolk }$ till ${ \hat {b}}$ och ${\hat {b}}^{\dolk }$ . För att hitta villkoren på konstanterna u och v så att transformationen är kanonisk, utvärderas kommutatorn, nämligen,

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dolk }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}} ^{\dolk },u^{*}{\hat {a}}^{\dolk}+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^ {2}-|v|^{2}\höger)\vänster[{\hat {a}},{\hat {en}}^{\dolk }\höger].$

Det är då uppenbart att $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ är villkoret för vilket transformationen är kanonisk.

Eftersom formen av detta tillstånd tyder på den hyperboliska identiteten

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,$

konstanterna u och v kan lätt parametriseras som

$u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,$

$v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.$

Detta tolkas som en linjär symplektisk transformation av fasrummet . Genom att jämföra med Bloch–Messias-sönderdelningen motsvarar de två vinklarna $\theta _{1}$ och $\theta _{2}$ de ortogonala symplektiska transformationerna (dvs. rotationer) och klämfaktor $r$ motsvarar diagonaltransformationen.

Ansökningar

Den mest framträdande tillämpningen är av Nikolai Bogoliubov själv i samband med superfluiditet . Andra tillämpningar omfattar Hamiltonians och excitationer i teorin om antiferromagnetism . Vid beräkning av kvantfältteori i krökt rum – gånger ändras definitionen av vakuumet, och en Bogoliubov-transformation mellan dessa olika vakuum är möjlig. Detta används vid härledning av Hawking-strålning . Bogoliubov-transformer används också i stor utsträckning inom kvantoptik, särskilt när man arbetar med gaussiska enheter (såsom stråldelare, fasskiftare och klämoperationer).

Fermioniskt läge

För antikommuteringsrelationerna _

$\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\ vänster\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dolk }\right\}=1,$

Bogoliubov-transformationen begränsas av $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ . Därför är den enda icke-triviala möjligheten $u=0,|v|=1,$ motsvarande partikel-antipartikel-utbyte (eller partikel-hål-utbyte i många-kroppssystem) med möjlig inkludering av en fasförskjutning. Således, för en enskild partikel, kan transformationen endast implementeras (1) för en Dirac-fermion , där partikel och antipartikel är distinkta (till skillnad från en Majorana-fermion eller kiral fermion ), eller (2) för multifermionsystem, i som det finns mer än en typ av fermion.

Ansökningar

Den mest framträdande tillämpningen är återigen av Nikolai Bogoliubov själv, denna gång för BCS-teorin om supraledning . Punkten där nödvändigheten att utföra en Bogoliubov-transform blir uppenbar är att i medelfältsapproximation kan Hamiltonian för systemet i båda fallen skrivas som en summa av bilinjära termer i de ursprungliga skapande- och förstörelseoperatorerna, som involverar finita $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle$ termer, dvs man måste gå längre än den vanliga Hartree–Fock-metoden . I synnerhet i medelfältet Bogoliubov–de Gennes Hamiltonsk formalism med en supraledande parterm som ${\displaystyle \Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{hc}}} , Bogoliubov-transformerade operatorerna b , b † {\displaystyle b,$ b $} }$ utplånar och skapar kvasipartiklar (var och en med väldefinierad energi, rörelsemängd och spinn men i en kvantöverlagring av elektron- och håltillstånd), och har koefficienter $u$ och $v$ givna av egenvektorer för Bogoliubov –de Gennes matris. Även inom kärnfysik är denna metod användbar, eftersom den kan beskriva "parningsenergin" av nukleoner i ett tungt element.

Multimode exempel

Det aktuella Hilbert-utrymmet är utrustat med dessa operatorer och beskriver hädanefter en högredimensionell kvantharmonisk oscillator (vanligtvis en oändlig dimensionell sådan).

Grundtillståndet för motsvarande Hamiltonian förintas av alla annihilationsoperatorer :

$\forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.$

Alla exciterade tillstånd erhålls som linjära kombinationer av grundtillståndet som exciteras av vissa skapande operatorer :

$\prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dolk }|0\rangle .$

Man kan omdefiniera skapelse- och förintelseoperatorerna genom en linjär omdefinition:

$a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij }a_{j}^{\dolk }),$

där koefficienterna $u_{ij},v_{ij}$ måste uppfylla vissa regler för att garantera att annihilationsoperatorerna och skapandeoperatorerna $a_{i}^{ \prime \dagger }$ , definierad av den hermitiska konjugatekvationen , har samma kommutatorer för bosoner och antikommutatorer för fermioner.

Ekvationen ovan definierar Bogoliubov-transformationen av operatorerna.

Grundtillståndet som förintas av alla $a'_{i}$ skiljer sig från det ursprungliga grundtillståndet $|0\rangle$ , och de kan ses som Bogoliubov-transformationerna av varandra med hjälp av operator–state-korrespondensen. De kan också definieras som pressade koherenta tillstånd . BCS-vågfunktion är ett exempel på sammanpressat koherent tillstånd hos fermioner.

Unified Matrix-beskrivning

Eftersom Bogoliubov-transformationer är linjär rekombination av operatorer, är det bekvämare och mer insiktsfullt att skriva dem i termer av matristransformationer. Om ett par annihilatorer $(a,b)$ omvandlas till

${\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

där $U$ är en $2\times 2$ matris. Då naturligt

${\begin{pmatrix}\alpha ^{\dolk }\\\beta ^{\dolk }\end{pmatrix}}=U^{ *}{\begin{pmatrix}a^{\dolk }\\b^{\dolk}\end{pmatrix}}$

För Fermion-operatörer återspeglas kravet på kommuteringsrelationer i två krav på formen av matrisen $U$

$U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$

och

$|u|^{2}+|v|^{2}=1$

För Boson-operatörer kräver kommuteringsrelationerna

$U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$

och

$|u|^{2}-|v|^{2}=1$

Dessa villkor kan skrivas enhetligt som

$U\Gamma _{\pm }U^{\dolk }=\Gamma _{\pm }$

var

$\Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}$

där $\Gamma _{\pm }$ gäller för fermioner respektive bosoner.

Diagonalisering av en kvadratisk Hamiltonian med hjälp av matrisbeskrivning

Bogoliubov-transformation låter oss diagonalisera en kvadratisk Hamiltonian

${\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dolk }&b^{\dolk }\end{pmatrix}}H {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

genom att bara diagonalisera matrisen $\Gamma _{\pm }H$ . I notationerna ovan är det viktigt att skilja operatorn ${\hat {H}}$ och den numeriska matrisen $H$ . Detta faktum kan ses genom att skriva om ${\hat {H}}$ som

${\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dolk }&\ beta ^{\dolk }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end {pmatrix}}$

och ${\displaystyle \Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D} om och endast$ om ${ \displaystyle U}$ diagonaliserar $\Gamma _{\pm }H$ , dvs $U(\Gamma _{\pm }H)U ^{-1}=\Gamma _{\pm }D$ .

Användbara egenskaper hos Bogoliubov-transformationer listas nedan.

	Boson	Fermion
Transformationsmatris	$U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$	$U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$
Invers transformationsmatris	$U^{-1}={\begin{pmatrix}u^{*}&-v\\-v^{*}&u\end{ pmatrix}}$	$U^{-1}={\begin{pmatrix}u^{*}&-v\\v^{*}&u\end{pmatrix} }$
Gamma	$\Gamma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$	$\Gamma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Diagonalisering	$U(\Gamma H)U^{-1}=\Gamma D$	$UHU^{-1}=D$

Se även

• Holstein–Primakoff transformation
• Jordan–Wigner-förvandling
• Jordan–Schwinger-förvandling
• Klein transformation

Vidare läsning

Hela ämnet, och många konkreta tillämpningar, behandlas i följande läroböcker:

•   Blaizot, J.-P.; Ripka, G. (1985). Kvantteori om ändliga system . MIT Press. ISBN 0-262-02214-1 .
•   Fetter, A.; Walecka, J. (2003). Kvantteori för många partikelsystem . Dover. ISBN 0-486-42827-3 .
•   Kittel, Ch. (1987). Kvantteori om fasta ämnen . Wiley. ISBN 0-471-62412-8 .
•   Wagner, M. (1986). Enhetstransformationer i fasta tillståndets fysik . Elsevier Vetenskap. ISBN 0-444-86975-1 .