Klein transformation

I kvantfältteorin är Klein -transformationen en omdefiniering av fälten för att ändra spin-statistiksatsen .

Bose–Einstein

Antag att φ och χ är fält så att om x och y är mellanrumsliknande -separerade punkter och i och j representerar spinor/tensor-indexen,

$[\varphi _{i}(x),\varphi _{j}(y)]=[\chi _{i}(x),\chi _{j}(y)]=\{\varphi _{i}( x),\chi _{j}(y)\}=0.$

Antag också att χ är invariant under Z ₂ -pariteten (inget att göra med rumsliga reflektioner!) avbildar χ till −χ men lämnar φ invariant. Uppenbarligen uppfyller fria fältteorier alltid denna egenskap. Sedan Z2 _- pariteten för antalet χ-partiklar väldefinierad och bevaras i tiden. Låt oss beteckna denna paritet med operatorn K _χ som mappar χ-jämna tillstånd till sig själv och χ-udda tillstånd till deras negativa. Då är K _χ involutiv , hermitisk och enhetlig .

Onödigt att säga att fälten φ och χ ovan inte har de korrekta statistikrelationerna för varken en boson eller en fermion. dvs de är bosoniska med avseende på sig själva men fermioniska med avseende på varandra. Men om du bara tittar på de statistiska egenskaperna, finner vi att den har exakt samma statistik som Bose–Einstein-statistiken. Här är varför:

Definiera två nya fält φ' och χ' enligt följande:

$\varphi '=iK_{\chi }\varphi \,$

och

$\chi '=K_{\chi}\chi .\,$

Denna omdefinition är inverterbar (eftersom K _χ är). Nu blir de rymdliknande kommuteringsrelationerna

$[\varphi '_{i}(x),\varphi '_{j}(y)]=[\chi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)]=[\varphi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)]=0.\,$

Fermi–Dirac

Låt oss nu arbeta med exemplet där

$\{\phi ^ {i}(x),\phi ^{j}(y)\}=\{\chi ^{i}(x),\chi ^{j}(y)\}=[\phi ^{i} (x),\chi ^{j}(y)]=0$

(mellanrumsliknande separerade som vanligt).

Antag återigen att vi har en Z ₂ bevarad paritetsoperator K _χ som verkar på χ enbart.

Låta

$\phi '=iK_{\chi }\phi \,$

och

$\chi '=K_{\chi}\chi .\,$

Sedan

$\{\phi '^{i}(x),\phi '^{j}(y)\}=\{\chi '^{i}(x),\chi '^{j}( y)\}=\{\phi '^{i}(x),\chi '^{j}(y)\}=0.$

Fler än två fält

Om det finns fler än två fält, kan man fortsätta att tillämpa Klein-transformationen på varje par av fält med "fel" kommuterings-/antikommuteringsrelationer tills det önskade resultatet erhålls.

Detta förklarar likvärdigheten mellan parastatistik och den mer välbekanta Bose–Einstein / Fermi–Dirac-statistiken .

Se även

• Jordan–Schwinger-förvandling
• Jordan–Wigner-förvandling
• Bogoliubov–Valatin transformation
• Holstein–Primakoff transformation