Hall algebra

Inom matematiken är Hallalgebra en associativ algebra med en bas som motsvarar isomorfismklasser av finita abelska p -grupper . Den diskuterades först av Steinitz (1901) men glömdes bort tills den återupptäcktes av Philip Hall ( 1959 ), som båda inte publicerade mer än korta sammanfattningar av sitt arbete. Hall -polynomen är strukturkonstanter för Hall-algebra . Hallalgebra spelar en viktig roll i Masaki Kashiwaras och George Lusztigs teori om kanoniska baser i kvantgrupper . Ringel (1990) generaliserade Hall-algebror till mer allmänna kategorier , såsom kategorin av representationer av en koger .

Konstruktion

En finit abelisk p -grupp M är en direkt summa av cykliska p -potenskomponenter $C_{p^{\lambda _{i}}},$ där $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )$ är en partition av $n$ som kallas typen av M . Låt $g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(p)$ vara antalet undergrupper N av M så att N har typen $\nu$ och kvoten M/N har typen $\mu$ . Hall bevisade att funktionerna g är polynomfunktioner av p med heltalskoefficienter. Så vi kan ersätta p med ett obestämt q , vilket resulterar i Hall-polynomen

g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)\in \mathbb {Z} [q].\,

Hall konstruerar sedan en associativ ring $H$ över $\mathbb {Z} [q]$ , nu kallad Hall-algebra . Denna ring har en bas som består av symbolerna $u_{\lambda }$ och strukturkonstanterna för multiplikationen i denna bas ges av Hall-polynomen:

u_{\mu }u_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)u_{\lambda }.\,

Det visar sig att H är en kommutativ ring, fritt genererad av elementen $u_{\mathbf {1} ^{n}}$ som motsvarar de elementära p -grupperna . Den linjära kartan från H till algebra av symmetriska funktioner definierade på generatorerna av formeln

u_{\mathbf {1} ^{n}}\mapsto q^{-n(n-1)/2}e_{n} \,

(där e _n är den n: te elementära symmetriska funktionen ) sträcker sig unikt till en ringhomomorfism och bilderna av baselementen $u_{\lambda }$ kan tolkas via Hall–Littlewoods symmetriska funktioner . Specialiserade q till 0, dessa symmetriska funktioner blir Schur funktioner , som alltså är nära förbundna med teorin om Hall polynom.

Hall, Philip (1959), "The algebra of partitions", Proceedings of the 4th Canadian matematical congress, Banff , s. 147–159
George Lusztig , Quivers, perverse sheaves, and quantized enveloping algebras , Journal of the American Mathematical Society 4 (1991), nr. 2, 365-421.
Macdonald, Ian G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials , Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1 , MR 1354144
Ringel, Claus Michael (1990), " Hall algebras and quantum groups" , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 583–591, Bibcode : 1990InMat.101..583R , doi : 10.1007 / BF0123,069
Schiffmann, Olivier (2012), "Föreläsningar om hallalgebras", Geometriska metoder i representationsteori. II , Sémin. Congr., vol. 24-II, Paris: Soc. Matematik. Frankrike, s. 1–141, arXiv : math/0611617 , Bibcode : 2006math.....11617S , MR 3202707
Steinitz, Ernst (1901), "Zur Theorie der Abel'schen Gruppen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 9 : 80–85