Greens relationer

Inom matematik är Greens relationer fem ekvivalensrelationer som kännetecknar elementen i en semigrupp när det gäller de huvudsakliga ideal de genererar . Relationerna är uppkallade efter James Alexander Green , som introducerade dem i en tidning från 1951. John Mackintosh Howie , en framstående semigroup-teoretiker, beskrev detta arbete som "så genomgripande att, när man möter en ny semigroup, nästan den första frågan man ställer. är "Hur är de gröna relationerna?" (Howie 2002). Relationerna är användbara för att förstå karaktären av delbarhet i en halvgrupp; de är också giltiga för grupper , men i det här fallet berättar vi inget användbart, eftersom grupper alltid har delbarhet.

Istället för att arbeta direkt med en halvgrupp S , är det bekvämt att definiera Greens relationer över monoiden S ¹ . ( S ¹ är " S med en identitet angränsad om nödvändigt"; om S inte redan är en monoid, angränsas ett nytt element och definieras som en identitet.) Detta säkerställer att huvudideal som genereras av något halvgruppselement verkligen innehåller det elementet . För ett element a av S är de relevanta idealen:

Huvudvänsteridealet genererat av a : $S^{1}a=\{sa\mid s\in S^{1}\}$ . Detta är samma sak som ${\displaystyle \{sa\mid s\in S\}\cup \{a\}} ,$ som är ${\ displaystyle Sa\cup \{a\}}$ .
Huvudrättsidealet genererat av a : ${\displaystyle aS^{1}=\{as\mid s\in S^{1}\}} ,$ eller motsvarande $aS\cup \{a\}$ .
Det huvudsakliga dubbelsidiga idealet genererat av a : $S^{1}aS^{1}$ , eller $SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}$ .

L-, R- och J-relationerna

För element a och b i S definieras Greens relationer L , R och J av

a L b om och endast om S ¹ a = S ¹ b .
a Rb om och endast om a S ¹ = b S ¹ .
a Jb om och endast om S ¹ a S ¹ = S 1 b S ¹^.

Det vill säga, a och b är L -relaterade om de genererar samma vänsterideal; R -relaterade om de genererar samma rätt ideal; och J -relaterade om de genererar samma tvåsidiga ideal. Dessa är ekvivalensrelationer på S , så var och en av dem ger en uppdelning av S i ekvivalensklasser. L -klassen av a betecknas L _{a (och} på liknande sätt för de andra relationerna). L -klasserna och R -klasserna kan likvärdigt förstås som de starkt sammankopplade komponenterna i de vänstra och högra Cayley- graferna för S ¹ . Vidare L , R och J -relationerna tre förordningar ≤ _L , ≤ _R , och ≤ _J , där a ≤ _Jb gäller för två element a och b av S om idealet som genereras av a ingår i det för b , dvs , S1aSi⊆SibS1 ^,^och ≤L ^och ≤R definieras analogt ^. _ _ _ _{_}_{_} _

Green använde den gemena svarta bokstaven ${\mathfrak {l}}$ , ${\mathfrak {r}}$ och ${\mathfrak {f}}$ för dessa relationer, och skrev $a\equiv b({\mathfrak {l}})$ för a L b (och likaså för R och J ). Matematiker idag tenderar att använda skriptbokstäver som ${\mathcal {R}}$ istället, och ersätter Greens modulära aritmetiska stilnotation med infixstilen som används här. Vanliga bokstäver används för ekvivalensklasserna.

L- och R - relationerna är vänster-höger dubbla till varandra; satser om den ena kan översättas till liknande påståenden om den andra. Till exempel är L högerkompatibel : om a L b och c är ett annat element av S , då ac L bc . Dubbelt är R vänsterkompatibel : om a Rb , då ca Rcb .

Om S är kommutativ, så sammanfaller L , R och J.

H- och D-relationerna

De återstående relationerna härleds från L och R . Deras skärningspunkt är H :

a Hb om och endast om a Lb och a Rb .

Detta är också en ekvivalensrelation på S . Klassen H _a är skärningspunkten _mellan La _och Ra . Mer generellt är skärningspunkten mellan varje L -klass och någon R -klass antingen en H -klass eller den tomma mängden.

Greens sats säger att för alla ${\mathcal {H}}$ -klass H i en halvgrupp S antingen (i) $H^{2}\cap H=\emptyset$ eller (ii) $H^{2}\subseteq H$ och H är en undergrupp av S . En viktig följd är att ekvivalensklassen H _e , där e är en idempotent , är en undergrupp av S (dess identitet är e , och alla element har inverser), och faktiskt är den största undergruppen av S som innehåller e . Ingen ${\mathcal {H}}$ -klass kan innehålla mer än en idempotent, därför är ${\mathcal {H}}$ idempotent separerande . I en monoid M kallas klassen H _{1 traditionellt för} gruppen av enheter . (Se upp att enhet inte betyder identitet i detta sammanhang, dvs i allmänhet finns det icke-identitetselement i H _1. Terminologin "enhet" kommer från ringteorin . ) Till exempel, i transformationen monoid på n element, T _n , gruppen av enheter är den symmetriska gruppen S _n .

Slutligen definieras D : a Db om och endast om det finns ett c i S så att a Lc och cRb . I gitterspråket är D sammanfogningen av L och R. (Kombinationen för ekvivalensrelationer är normalt svårare att definiera, men förenklas i det här fallet av det faktum att a L c och c Rb för vissa c om och endast om a R d och d Lb för vissa d .)

Eftersom D är den minsta ekvivalensrelationen som innehåller både L och R , vet vi att a D b innebär ett J b — så J innehåller D . I en finit halvgrupp D och J desamma, som även i en rationell monoid . ^{[ förtydligande behövs ]} Dessutom sammanfaller de också i vilken epigrupp som helst .

Det finns också en formulering av D i termer av ekvivalensklasser, härledd direkt från definitionen ovan:

a D b om och endast om skärningspunkten mellan Ra och L _b inte är tom _.

Följaktligen kan D -klasserna i en halvgrupp ses som förbund av L -klasser, som förbund av R -klasser eller som förbund av H -klasser. Clifford och Preston (1961) föreslår att man tänker på denna situation i termer av en "ägglåda":

Varje rad med ägg representerar en R -klass, och varje kolumn en L -klass; själva äggen är H -klasserna. För en grupp finns det bara ett ägg, eftersom alla fem av Greens relationer sammanfaller och gör alla gruppelement likvärdiga. Det motsatta fallet, som finns till exempel i den bicykliska semigruppen , är där varje element är i en egen H -klass. Ägglådan för denna semigrupp skulle innehålla oändligt många ägg, men alla ägg ligger i samma låda eftersom det bara finns en D -klass. (En halvgrupp för vilken alla element är D -relaterade kallas bisimple .)

Det kan visas att inom en D -klass är alla H -klasser lika stora. Till exempel innehåller transformationssemigruppen T4 fyra D -klasser, inom vilka _H - klasserna har 1, 2, 6 respektive 24 element.

De senaste framstegen inom kombinatoriken för semigrupper har använt Greens relationer för att hjälpa till att räkna upp semigrupper med vissa egenskaper. Ett typiskt resultat (Satoh, Yama och Tokizawa 1994) visar att det finns exakt 1 843 120 128 icke-ekvivalenta semigrupper av ordning 8, inklusive 221 805 som är kommutativa; deras arbete bygger på en systematisk utforskning av möjliga D -klasser. (Däremot finns det bara fem grupper av ordning 8 .)

Exempel

Den fullständiga transformationssemigruppen T3 består av alla funktioner från mängden {1, 2, 3} till sig själv _; det finns 27 av dessa. Skriv ( a b c ) för funktionen som skickar 1 till a , 2 till b och 3 till c . Eftersom T ₃ innehåller identitetskartan, (1 2 3), finns det inget behov av att angränsa en identitet.

Äggboxdiagrammet för T ₃ har tre D -klasser. De är också J -klasser, eftersom dessa relationer sammanfaller för en finit halvgrupp.

(1 1 1)

(2 2 2)

(3 3 3)

(1 2 2) , (2 1 1)	(1 3 3) , (3 1 1)	(2 3 3), (3 2 2)
(2 1 2), (1 2 1)	(3 1 3), (1 3 1)	(3 2 3) , (2 3 2)
(2 2 1), (1 1 2)	(3 3 1), (1 1 3)	(3 3 2), (2 2 3)

(1 2 3) , (2 3 1), (3 1 2), (1 3 2), (3 2 1), (2 1 3)

I T ₃ är två funktioner L- relaterade om och endast om de har samma bild . Sådana funktioner visas i samma kolumn i tabellen ovan. är funktionerna f och g R -relaterade om och endast om

f ( x ) = f ( y ) ⇔ g ( x ) = g ( y )

för x och y i {1, 2, 3}; sådana funktioner finns i samma tabellrad. Följaktligen är två funktioner D -relaterade om och endast om deras bilder är av samma storlek.

Elementen i fet stil är de idempotenta. Varje H -klass som innehåller en av dessa är en (maximal) undergrupp. I synnerhet är den tredje D - klassen isomorf till den symmetriska gruppen S3 _. Det finns också sex undergrupper av ordning 2 och tre av ordning 1 (liksom undergrupper av dessa undergrupper). Sex element av T ₃ är inte i någon undergrupp.

Generaliseringar

Det finns i huvudsak två sätt att generalisera en algebraisk teori. Den ena är att ändra dess definitioner så att den omfattar flera eller olika objekt; det andra, mer subtila sättet, är att hitta något önskvärt resultat av teorin och överväga alternativa sätt att nå den slutsatsen.

Efter den första vägen har analoga versioner av Greens relationer definierats för semirings (Grillet 1970) och ringar (Petro 2002). Vissa, men inte alla, egenskaper som är förknippade med relationerna i semigrupper överförs till dessa fall. Genom att stanna inom semigruppernas värld kan Greens relationer utvidgas till att täcka relativa ideal, som är delmängder som endast är ideal med avseende på en undersemigrupp (Wallace 1963).

För den andra typen av generalisering har forskare koncentrerat sig på egenskaperna hos bijektioner mellan L - och R - klasser. Om x R y , så är det alltid möjligt att hitta bijektioner mellan L _x och L _y som är R -klassbevarande. (Det vill säga, om två element i en L -klass är i samma R -klass, så kommer deras bilder under en bijektion fortfarande att vara i samma R -klass.) Den dubbla satsen för x L y gäller också. Dessa bijektioner är höger- och vänsteröversättningar, begränsade till lämpliga ekvivalensklasser. Frågan som uppstår är: hur skulle det annars kunna finnas sådana bijektioner?

Antag att Λ och Ρ är semigrupper av partiella transformationer av någon halvgrupp S . Under vissa förhållanden kan det visas att om x Ρ = y Ρ, med x ρ ₁ = y och y ρ ₂ = x , så är restriktionerna

ρ ₁ : Λ x → Λ y

ρ ₂ : Λ y → Λ x

är ömsesidigt omvända bijektioner. (Konventionellt skrivs argument till höger för Λ, och till vänster för Ρ.) Då L- och R -relationerna definieras av

x L y om och endast om Λ x = Λ y

x R y om och endast om x Ρ = y Ρ

och D och H följer som vanligt. Generalisering av J är inte en del av detta system, eftersom det inte spelar någon roll i den önskade egenskapen.

Vi kallar (Λ, Ρ) ett grönt par . Det finns flera val av partiell transformationssemigrupp som ger de ursprungliga relationerna. ^skulle vara att ta Λ för att vara halvgruppen av alla vänsteröversättningar på S1 , begränsade till S , och Ρ den motsvarande halvgruppen av begränsade högeröversättningar.

Dessa definitioner beror på Clark och Carruth (1980). De subsumerar Wallaces arbete, såväl som olika andra generaliserade definitioner som föreslogs i mitten av 1970-talet. De fullständiga axiomen är ganska långa att ange; informellt är de viktigaste kraven att både Λ och Ρ ska innehålla identitetstransformationen och att element av Λ ska pendla med element av Ρ.

Se även

Schutzenberger-gruppen

CE Clark och JH Carruth (1980) Generalized Green's theories , Semigroup Forum 20(2); 95–127.
AH Clifford och GB Preston (1961) The Algebraic Theory of Semigroups , volym 1, (1967) volym 2, American Mathematical Society , Greens relationer introduceras i kapitel 2 i den första volymen.
JA Green (juli 1951) "On the structure of semigroups", Annals of Mathematics (andra serien) 54(1): 163–172.
Grillet, Mireille P. (1970). "Gröns relationer i en semiring" . Hamn. Matematik . 29 : 181–195. Zbl 0227.16029 .
John M. Howie (1976) An introduction to Semigroup Theory , Academic Press ISBN 0-12-356950-8 . En uppdaterad version finns tillgänglig som Fundamentals of Semigroup Theory , Oxford University Press , 1995. ISBN 0-19-851194-9 .
John M. Howie (2002) "Semigroups, Past, Present and Future", Proceedings of the International Conference on Algebra and its Applications , Chulalongkorn University , Thailand
Lawson, Mark V. (2004). Finita automater . Chapman och Hall/CRC. ISBN 1-58488-255-7 . Zbl 1086.68074 .
Petraq Petro (2002) Greens relationer och minimala kvasiideal i ringar , Communications in Algebra 30(10): 4677–4686.
S. Satoh, K. Yama och M. Tokizawa (1994) "Semigroups of order 8", Semigroup Forum 49: 7–29.
Gomes, GMS; Pin, JE; Silva, JE (2002). Semigrupper, algoritmer, automater och språk. Proceedings of workshops som hölls vid International Centre of Mathematics, CIM, Coimbra, Portugal, maj, juni och juli 2001 . World Scientific . ISBN 978-981-238-099-9 . Zbl 1005,00031 .