Epigrupp

I abstrakt algebra är en epigrupp en halvgrupp där varje element har en styrka som tillhör en undergrupp . Formellt , för alla x i en halvgrupp S , finns det ett positivt heltal n och en undergrupp G av S så att xn ^tillhör G.

Epigrupper är kända under många olika andra namn, inklusive kvasi-periodisk halvgrupp , gruppbunden halvgrupp , helt π-regelbunden halvgrupp, starkt π-regelbunden halvgrupp ( sπr ), eller bara π-regelbunden halvgrupp (även om den senare är tvetydig).

Mer generellt, i en godtycklig semigrupp kallas ett element gruppbundet om det har en potens som tillhör en undergrupp.

Epigrupper har tillämpningar för ringteori . Många av deras egenskaper studeras i detta sammanhang.

Epigrupper studerades först av Douglas Munn 1961, som kallade dem pseudoinvertibla .

Egenskaper

• Epigrupper är en generalisering av periodiska semigrupper , därför är alla finita semigrupper också epigrupper.
• Klassen av epigrupper innehåller också alla helt vanliga semigrupper och alla helt 0-enkla semigrupper .
• Alla epigrupper är också så småningom vanliga semigrupper . (även känd som π-regelbundna semigrupper)
• En avbrytande epigrupp är en grupp .
• Greens relationer D och J sammanfaller för vilken epigrupp som helst.
• Om S är en epigrupp, är varje vanlig delgrupp av S också en epigrupp.
• I en epigrupp sammanfaller Nambooripad-ordningen (som utvidgas av PR Jones) och den naturliga partiella ordningen (av Mitsch).

Exempel

• Halvgruppen av alla matriser över en divisionsring är en epigrupp.
• Den multiplikativa halvgruppen av varje halvenkel artinisk ring är en epigrupp.
• Varje algebraisk halvgrupp är en epigrupp.

Strukturera

är en epigrupp S uppdelad i klasser som ges av dess idempotenter , som fungerar som identiteter för varje undergrupp. För varje idempotent e av S , mängden: $K_{e}=\{x\in S\;|\;\exists n>0:\;x^{n}\i G_{e}\}$ kallas en unipotensklass (medan för periodiska semigrupper är det vanliga namnet torsionsklass.)

Undersemigrupper av en epigrupp behöver inte vara epigrupper, men om de är det, så kallas de underepigrupper. Om en epigrupp S har en partition i unipotenta subepigrupper (dvs var och en innehåller en enda idempotent), så är denna partition unik, och dess komponenter är exakt de unipotensklasser som definierats ovan; en sådan epigrupp kallas unipotently partitionable . Men inte varje epigrupp har denna egenskap. Ett enkelt motexempel är Brandt-halvgruppen med fem element B ₂ eftersom unipotensklassen för dess nollelement inte är en underhalvgrupp. B ₂ är faktiskt den kvintessentiella epigruppen som inte är unipotent partitionerbar. En epigrupp är unipotent partitionerbar om och endast om den inte innehåller någon undersemigrupp som är en idealisk förlängning av en unipotent epigrupp med B ₂ .

Se även

Särskilda klasser av semigrupper