Schutzenberger-gruppen

I abstrakt algebra , i semigruppteorin , är en Schutzenberger-grupp en viss grupp associerad med en grön H -klass i en semigrupp . Schutzenbergergrupperna som är associerade med olika H -klasser är olika. Emellertid är grupperna associerade med två olika H -klasser som ingår i samma D -klass i en semigrupp isomorfa . Dessutom, om H -klassen i sig var en grupp , skulle Schutzenberger-gruppen i H -klassen vara isomorf till H -klassen. Faktum är att det finns två Schutzenberger-grupper associerade med en given H -klass och var och en är antiisomorf mot den andra.

Schutzenbergergruppen upptäcktes av Marcel-Paul Schützenberger 1957 och terminologin myntades av AH Clifford .

Schutzenberger-gruppen

Låt S vara en halvgrupp och låt S ¹ vara den semigrupp som erhålls genom att ansluta ett identitetselement 1 till S (om S redan har ett identitetselement, då S ¹ = S ). Greens H -relation i S definieras enligt följande: Om a och b är i S då

a H ​​b ⇔ det finns u , v , x , y i S ¹ så att ua = ax = b och vb = by = a .

För a i S , mängden av alla _b : n i S så att a Hb är den gröna H -klassen av S som innehåller a , betecknad med Ha .

Låt H vara en H -klass av halvgruppen S . Låt T ( H ) vara mängden av alla element t i S ¹ så att Ht är en delmängd av H själv. Varje t i T ( H ) definierar en transformation, betecknad med γ _t , av H genom att mappa h i H till ht i H . Uppsättningen av alla dessa transformationer av H , betecknad med Γ( H ), är en grupp under sammansättning av mappningar (tar funktioner som högra operatorer). Gruppen Γ( H ) är Schutzenbergergruppen associerad med H - klassen H.

Exempel

Om H är en maximal undergrupp av en monoid M (en semigrupp med identitet), så är H en H-klass, och den är naturligt isomorf till sin egen Schutzenberger-grupp.

I allmänhet har man att kardinaliteten hos H och dess Schutzenberger-grupp sammanfaller för varje H-klass H .

Ansökningar

Det är känt att en monoid med ändligt många vänster- och högerideal presenteras ändligt (eller bara ändligt genererad ) om och bara om alla dess Schutzenberger-grupper är ändligt presenterade (respektive ändligt genererade). På liknande sätt är en sådan monoid restfinit om och endast om alla dess Schutzenberger-grupper är resterande ändliga.