Graderat grenrör

Inom algebraisk geometri är graderade grenrör förlängningar av begreppet grenrör baserade på idéer som kommer från supersymmetri och superkommutativ algebra . Både graderade grenrör och supergrenrör är formulerade i termer av skivor av graderade kommutativa algebror . Graderade grenrör kännetecknas dock av skivor på släta grenrör , medan supergrenrör är konstruerade genom limning av skivor av supervektorutrymmen .

Graderade grenrör

Ett graderat grenrör med dimension $(n,m)$ definieras som ett lokalt ringat utrymme $(Z,A)$ där $Z$ är ett $n$ -dimensionellt jämnt grenrör och $A$ är en $C_{Z}^{\infty }$ -bunt av Grassmann-algebror av rang $m$ där $C_{Z}^{\infty }$ är bunten av jämna verkliga funktioner på $Z$ . Bärgen $A$ kallas strukturbunten för det graderade grenröret $(Z,A)$ , och grenröret $Z$ sägs vara kroppen av $(Z,A)$ . Sektioner av bunten $A$ kallas graderade funktioner på ett graderat grenrör $(Z,A)$ . De utgör en graderad kommutativ $C^{\infty }(Z)$ -ring $A(Z)$ som kallas strukturringen av ${\ displaystil (Z,A)}$ . Den välkända Batchelor-satsen och Serre-Swan-satsen karakteriserar graderade grenrör enligt följande.

Serre-Svanens sats för graderade grenrör

Låt $(Z,A)$ vara ett graderat grenrör. Det finns en vektorbunt $E\to Z$ med en $m$ -dimensionell typisk fiber $V$ så att strukturen $A$ av $(Z,A)$ är isomorf till strukturen av sektioner av den yttre produkten $\Lambda (E)$ av $E$ , vars typiska fiber är Grassmann-algebra $\Lambda (V)$ .

Låt $Z$ vara ett jämnt grenrör. En graderad kommutativ $C^{\infty }(Z)$ -algebra är isomorf till strukturringen av ett graderat grenrör med en kropp $Z$ om och bara om det är det yttre algebra för någon projektiv $C^{\infty }(Z)$ -modul av ändlig rang.

Graderade funktioner

Observera att ovan nämnda Batchelors isomorfism misslyckas med att vara kanonisk, men den är ofta fixad från början. I $(U;z^{A},y^{a})$ här fallet, varje trivialiseringsdiagram i vektorpaketet $E\to Z$ ger en uppdelningsdomän $(U;z^{A},c^{a})$ av ett graderat grenrör $(Z,A)$ , där $\{c^{a}\}$ är fiberbasen för $E$ . Graderade funktioner på ett sådant diagram är $\Lambda (V)$ -värderade funktioner

f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1} \ldots a_{k}}(z)c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}

,

där $f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)$ är jämna reella funktioner på $U$ och $c^{ a}$ är udda genererande element i Grassmann-algebra $\Lambda (V)$ .

Graderade vektorfält

Givet ett graderat grenrör $(Z,A)$ kallas graderade härledningar av strukturringen av graderade funktioner $A(Z)$ graderade vektorfält på $(Z,A)$ . De utgör en verklig Lie superalgebra $\partial A(Z)$ med avseende på superparentesen

[u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[ u][u']}u'\cdot u

,

där $[u]$ anger Grassmann-pariteten för $u\in \partial A(Z)$ . Graderade vektorfält läses lokalt

u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a} }}

.

De agerar på graderade funktioner $\displaystyle f}$ av regeln

u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\ cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}(f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{ a_{k}}+\summa _{i}u^{a_{i}}(-1)^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1} }\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}}\cdots c^{a_{k}}

.

Graderade exteriörformer

A $A(Z)$ -dual av modulens graderade vektorfält $\partial A(Z)$ modulen av graderade yttre enformer $O^{1}(Z)$ . Graderade exteriöra enformer läses lokalt $\phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a}$ så att dualitetsprodukten (interiör) mellan $\partial A(Z)$ och $O^{1}(Z)$ tar formen

u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\ phi _{a}]}u^{a}\phi _{a}

.

Levereras med den graderade exteriörprodukten

dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc ^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j}\wedge dc^{i}

,

graderade enformar genererar den graderade yttre algebra $O^{*}(Z)$ av graderade yttre former på ett graderat grenrör. De lyder förhållandet

\phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\ phi '\wedge \phi

,

där $|\phi |$ anger formgraden för $\phi$ . Den graderade yttre algebra $O^{*}(Z)$ är en graderad differentialalgebra med avseende på den graderade yttre differentialen

d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a}}}\phi

,

där de graderade härledningarna $\partial _{A}$ , $\partial /\partial c^{a}$ graderas kommutativa med de graderade formerna $dz ^{A}$ och $dc^{a}$ . Det finns de välbekanta relationerna

d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '

.

Graderad differentialgeometri

I kategorin graderade grenrör betraktar man graderade Lie-grupper, graderade buntar och graderade huvudbuntar. Man introducerar också begreppet jets av graderade grenrör, men de skiljer sig från jets av graderade buntar.

Graderad differentialkalkyl

Differentialkalkylen på graderade grenrör är formulerad som differentialkalkylen över graderade kommutativa algebror på samma sätt som differentialkalkylen över kommutativa algebror .

Fysiskt resultat

På grund av den ovan nämnda Serre-Svan-satsen beskrivs udda klassiska fält på ett jämnt grenrör i termer av graderade grenrör. Variationsbikomplexet har utökats till graderade grenrör och tillhandahåller den strikta matematiska formuleringen av lagrangisk klassisk fältteori och lagrangisk BRST-teori .

Se även

C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
T. Stavracou, Teori om samband på graderade huvudbuntar, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
B. Kostant, Graded manifolds, Graded Lie theory, and prequantization, in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) sid. 177
A. Almorox, Supergauge-teorier i graderade grenrör, i Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) sid. 114
D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque, Global variationskalkyl på graderade grenrör, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7 ; arXiv : math-ph/0102016 ; arXiv : 1304.1371 .

externa länkar

G. Sardanashvily , Föreläsningar om supergeometri, arXiv : 0910.0092 .