Anslutning (algebraisk ram)

Geometri av kvantsystem (t.ex. icke-kommutativ geometri och supergeometri ) är huvudsakligen formulerad i algebraiska termer av moduler och algebror . Anslutningar på moduler är generalisering av en linjär anslutning på en jämn vektorbunt $E\to X$ skriven som en Koszul-anslutning på $C^{\infty }(X)$ -modul av sektioner av $E\to X$ .

Kommutativ algebra

Låt $A$ vara en kommutativ ring och $M$ en A - modul . Det finns olika ekvivalenta definitioner av en anslutning på $M$ .

Första definitionen

Om $k\to A$ är en ringhomomorfism, är en $k$ -linjär koppling en $k$ -linjär morfism

\nabla :M\to \Omega _{A/k}^{1}\otimes _{A}M

som tillfredsställer identiteten

\nabla (am)=da\otimes m+a\nabla m

En anslutning sträcker sig, för alla $p\geq 0$ till en unik karta

\nabla :\Omega _{A/k}^{p}\otimes _{A}M\to \Omega _{A/k}^{p+1}\ibland _{A}M

tillfredsställande $\nabla (\omega \otimes f)=d\omega \otimes f+(-1)^{p}\ omega \wedge \nabla f$ . En anslutning sägs vara integrerbar om $\nabla \circ \nabla =0$ , eller motsvarande, om krökningen $\nabla ^{ 2}:M\to \Omega _{A/k}^{2}\otimes M$ försvinner.

Andra definitionen

Låt $D(A)$ vara modulen av härledningar av en ring $A$ . En anslutning på en A -modul $M$ definieras som en A -modulmorfism

\nabla :D(A)\to \mathrm {Diff} _{1}(M,M);u\mapsto \nabla _{u}

så att de första ordningens differentialoperatorerna $\nabla _{u}$ på $M$ följer Leibniz-regeln

\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in M.

Anslutningar på en modul över en kommutativ ring finns alltid.

Anslutningens krökning $\nabla$ definieras som nollordningens differentialoperator

R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'} ]-\nabla _{[u,u']}\,

på modulen $M$ för alla $u,u'\in D(A)$ .

Om $E\to X$ är en vektorbunt, finns det en-till-en-överensstämmelse mellan linjära anslutningar $\Gamma$ på $E\to X$ och anslutningarna $\nabla$ på $C^{\infty }(X)$ -modulen av sektioner av $E\to X$ . Strängt taget $\nabla$ den kovarianta differentialen för en anslutning på $E\to X$ .

Graderad kommutativ algebra

Föreställningen om en koppling på moduler över kommutativa ringar utvidgas enkelt till moduler över en graderad kommutativ algebra . Detta är fallet med superanslutningar i supergeometri av graderade grenrör och supervektorbuntar . Superkopplingar finns alltid.

Icke-kommutativ algebra

Om $A$ är en icke-kommutativ ring, definieras anslutningar på vänster och höger A -moduler på samma sätt som de på moduler över kommutativa ringar. Dessa kopplingar behöver dock inte finnas.

I motsats till anslutningar på vänster och höger moduler finns det ett problem hur man definierar en anslutning på en R - S - bimodul över icke-kommutativa ringar R och S . Det finns olika definitioner av ett sådant samband. Låt oss nämna en av dem. En anslutning på en R - S -bimodul $P$ definieras som en bimodulmorfism

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P)

som lyder Leibniz regel

\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S, \quad p\in P.

Se även

Anteckningar

Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Société Mathématique 78 (1950) 65
Koszul, J., Föreläsningar om fiberbuntar och differentialgeometri (Tata University, Bombay, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P., Anslutningar på centrala bimoduler i icke-kommutativ differentialgeometri, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv : q-alg/9503020
Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries , Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) arXiv : hep-th/9701078 , iv+181 pages.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

externa länkar

Sardanashvily, G. , Föreläsningar om differentiell geometri för moduler och ringar (Lambert Academic Publishing, Saarbrücken, 2012); arXiv : 0910.1515