Frölicher–Nijenhuis fäste

I matematik är Frölicher -Nijenhuis-parentesen en förlängning av Lie-parentesen av vektorfält till vektorvärderade differentialformer på ett differentierbart grenrör .

Det är användbart i studiet av anslutningar , särskilt Ehresmann-anslutningen , såväl som i den mer allmänna studien av projektioner i tangentbunten . Den introducerades av Alfred Frölicher och Albert Nijenhuis (1956) och är relaterad till Schoutens verk (1940).

Det är relaterat till men inte samma som Nijenhuis-Richardson-fästet och Schouten-Nijenhuis-fästet .

Definition

Låt Ω*( M ) vara strängen av yttre algebror av differentialformer på ett jämnt grenrör M . Detta är en graderad algebra där former graderas efter grad:

$\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M).$

En graderad härledning av grad ℓ är en avbildning

$D:\Omega ^{*}(M)\to \Omega ^{*+l}(M)$

som är linjär med avseende på konstanter och tillfredsställer

$D(\alpha \wedge \beta )=D(\alpha )\wedge \beta +(-1)^{\ell \deg(\alpha )}\alpha \wedge D(\beta ).$

Således definierar i synnerhet den inre produkten med en vektor en graderad härledning av grad ℓ = −1, medan den yttre derivatan är en graderad härledning av grad ℓ = 1.

Vektorutrymmet för alla härledningar av grad ℓ betecknas med Der _ℓ Ω*( M ). Den direkta summan av dessa rum är ett graderat vektorrum vars homogena komponenter består av alla graderade härledningar av en given grad; det betecknas

$\mathrm {Der} \,\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=-\infty }^{\infty }\mathrm {Der} _{k}\,\Omega ^{ *}(M).$

Detta bildar en graderad Lie superalgebra under antikommutatorn av härledningar definierade på homogena härledningar D ₁ och D ₂ av grader d ₁ respektive d ₂ av

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-(-1)^{d_{1}d_{2}}D_{2}\circ D_{1 }.$

Varje vektorvärderad differentialform K i Ω ^k ( M , TM ) med värden i tangentknippet av M definierar en graderad härledning av graden k − 1 , betecknad med i _K , och kallas för insättningsoperatorn. För ω ∈ Ω ^ℓ ( M ),

$i_{K}\,\omega (X_{1},\dots ,X_{k+\ell -1})={\frac {1}{k!(\ell -1)!}}\ summa _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {tecken}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\dots ,X_ {\sigma (k)}),X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})$

Nijenhuis –Lie-derivatan längs K ∈ Ω ^k ( M , TM ) definieras av

${\mathcal {L}}_{K}=[d,i_{K}]= d\,{\circ }\,i_{K}-(-1)^{k-1}i_{K}{\circ }\,d$

där d är den yttre derivatan och i _K är insättningsoperatorn.

Frölicher–Nijenhuis-fästet definieras som den unika vektorvärderade differentialformen

$[\cdot ,\cdot ]_{FN}:\Omega ^{k}(M,\mathrm {T} M)\ gånger \Omega ^{\ell }(M,\mathrm {T} M) \to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]_{FN}$

Så att

${\mathcal {L}}_{[K,L]_{FN}}=[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{L}].$

Därav,

$[K,L]_{FN}=-(-1)^{kl}[L,K]_{FN}.$

⁰ Om k = 0, så att K ∈ Ω ( M , TM ) är ett vektorfält, återvinns den vanliga homotopiformeln för Lie-derivatan

${\mathcal {L}}_{K}=[d,i_{K}]=d\,{\circ }\,i_{K}+i_{K}\,{\circ }\, d.$

Om k = ℓ =1 , så att K,L ∈ Ω ¹ ( M , TM ), har man för alla vektorfält X och Y

$[K,L]_{FN}(X,Y)=[KX,LY]+[LX,KY]+(KL+LK)[X,Y]-K([LX,Y]+[ X,LY])-L([KX,Y]+[X,KY]).$

⁰ Om k =0 och ℓ =1, så att K=Z ∈ Ω ( M , TM ) är ett vektorfält och L ∈ Ω ¹ ( M , TM ), har man för vilket vektorfält som helst X

$[Z,L]_{FN}(X)=[Z,LX]-L[Z,X].$

En explicit formel för Frölicher–Nijenhuis parentes av $\phi \otimes X$ och $\psi \otimes Y$ (för formerna φ och ψ och vektorfälten X och Y ) ges förbi

$\left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y]_{FN}=\phi \wedge \psi \otimes [X,Y]+\phi \wedge {\mathcal {L }}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \ wedge i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\wedge d\psi \otimes X).$

Avledningar av ringen av former

Varje härledning av Ω ^* ( M ) kan skrivas som

$i_{L}+{\mathcal {L}}_{K}$

för unika element K och L av Ω ^* ( M , TM ). Lie-parentesen för dessa härledningar ges enligt följande.

• Avledningarna av formen ${\mathcal {L}}_{K}$ bildar Lie-superalgebra för alla härledningar som pendlar med d . Klammern ges av

$[{\mathcal {L}}_{K_{1}},{\mathcal {L}}_ {K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1},K_{2}]}$

där parentesen till höger är Frölicher–Nijenhuis-parentesen. Frölicher–Nijenhuis-parentesen ${\displaystyle \Omega (M,\mathrm {T} M)} ,$ särskilt en graderad Lie-algebrastruktur på som utökar Lie-parentesen för vektorfält .

• ⁰ Avledningarna av formen $i_{L}$ bildar Lie-superalgebra av alla härledningar som försvinner på funktionerna Ω ( M ). Klammern ges av

$[i_{L_{1}},i_{L_{2}}]=i_{[L_{ 1},L_{2}]^{\land }}$

där parentesen till höger är Nijenhuis–Richardson-parentesen .

• Klammern av härledningar av olika typer ges av

$i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{L}K}} för K$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K} ,i_{L}]$

= i Ω k ⁽ M , TM L i Ql ⁺¹ ( M , TM ) .

Ansökningar

Nijenhuis -tensorn av en nästan komplex struktur J , är Frölicher–Nijenhuis-fästet av J med sig själv. En nästan komplex struktur är en komplex struktur om och bara om Nijenhuis-tensorn är noll.

Med Frölicher–Nijenhuis-fästet är det möjligt att definiera krökningen och samkurvaturen för en vektorvärderad 1-form som är en projektion . Detta generaliserar begreppet krökning av en anslutning .

Det finns en vanlig generalisering av parentesen Schouten–Nijenhuis och Frölicher–Nijenhuis parentes; för detaljer se artikeln om Schouten–Nijenhuis-fästet .

• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1956), "Teori om vektorvärderade differentialformer. Del I.", Indagationes Mathematicae , 18 : 338–360 .
• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1960), "Invariance of vector form operations under mappings", Communicationes Mathematicae Helveticae , 34 : 227–248, doi : 10.1007/bf02565938 .
• PW Michor (2001) [1994], "Frölicher–Nijenhuis bracket" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Schouten, JA (1940), "Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen", Indagationes Mathematicae , 2 : 449–452 .