Kardinalfunktion

I matematik är en kardinalfunktion (eller kardinalinvariant ) en funktion som returnerar kardinaltal .

Kardinalfunktioner i mängdlära

• Den mest använda kardinalfunktionen är en funktion som tilldelar en mängd A dess kardinalitet , betecknad med | A |.
• Alef-tal och beth-nummer kan båda ses som kardinalfunktioner definierade på ordningstal .
• Kardinala aritmetiska operationer är exempel på funktioner från kardinaltal (eller par av dem) till kardinaltal.
• Kardinalegenskaper för ett (riktigt) ideal I av delmängder av X är:

${\rm {lägg till}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\ notin I{\big \}}.$

"additiviteten" för I är det minsta antalet uppsättningar från I vars förening inte finns i I längre. Eftersom alla ideal är stängda under finita fackföreningar är detta tal alltid minst $\aleph _{0}$ ; om I är ett σ-ideal, $\operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.$

$\operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{ \big \}}.$

"Täckningsnumret" för I är det minsta antalet uppsättningar från I vars förening är hela X . Eftersom X själv inte är i I måste vi ha add( I ) ≤ cov( I ).

$\operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I{\big \}},$

"Enhetstalet" för I (ibland också skrivet ${\rm {unif}}(I)$ ) är storleken på den minsta mängden inte i I . Förutsatt att I innehåller alla singlar, add( I ) ≤ non( I ).

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\ existerar B\i {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.} "$

cofinality" av I är cofinality av partiell ordning ( I ​​, ⊆). Det är lätt att se att vi måste ha non( I ) ≤ cof( I ) och cov( I ) ≤ cof( I ).

I fallet att $I$ är ett ideal som är nära relaterat till strukturen av realerna, såsom idealet för Lebesgue nollmängder eller idealet för magra mängder , hänvisas dessa kardinalinvarianter till som kardinalkarakteristika för kontinuumet .

• För en förbeställd uppsättning $({\mathbb {P} },\sqsubseteq )$ det avgränsande talet ${\mathfrak {b}}({\mathbb {P} } )$ och dominerande tal ${\mathfrak {d}}({\mathbb {P} })$ definieras som

${\mathfrak {b}}({\mathbb {P} })=\min {\big \ {}|Y|:Y\subseteq {\mathbb {P} }\ \wedge \ (\forall x\in {\mathbb {P} })(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x) {\big \}},$

${\mathfrak {d}}({\mathbb {P} })=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq {\mathbb {P} }\ \wedge \ (\forall x \in {\mathbb {P} })(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.$

• I PCF-teori är kardinalfunktionen $pp_{\ kappa }(\lambda )$ används.

Kardinalfunktioner i topologi

Kardinalfunktioner används ofta inom topologi som ett verktyg för att beskriva olika topologiska egenskaper . Nedan följer några exempel. (Notera: vissa författare, som hävdar att "det inte finns några finita kardinaltal i allmän topologi ", föredrar att definiera kardinalfunktionerna nedan så att de aldrig tar på finita kardinaltal som värden; detta kräver modifiering av några av definitionerna nedan, till exempel genom att lägga till " $\;\;+\;\aleph _{0}$ " till höger om definitionerna, etc.)

• De kanske enklaste kardinalinvarianterna i ett topologiskt rum $X$ är dess kardinalitet och kardinalitet av dess topologi, betecknade med $|X|$ och $o(X).$
• Vikten $\operatorname {w} (X)$ för ett topologiskt utrymme X $\displaystyle X}$ är kardinaliteten för den minsta basen för $X.$ När $\operatorname {w} (X)=\aleph _{0}$ sägs utrymmet ${\displaystyle X} vara$ andra räkningsbart .
  • π $\pi$ -vikten för ett mellanslag $X$ är kardinaliteten för den minsta $\displaystyle \pi }$ -basen för $X.$ (En $\pi$ -bas är en uppsättning icke-tomma öppningar vars supermängder inkluderar alla öppningar.)
  • Nätverksvikten $\operatorname {nw} (X)$ av $\displaystyle X}$ { är den minsta kardinaliteten i ett nätverk för $X.$ Ett nätverk är en familj ${\mathcal {N}}$ av uppsättningar, för vilka, för alla punkter $x$ och öppna kvarter $U$ som innehåller $x,$ det finns $B$ i ${\mathcal {N}}$ för vilken $x\in B\subseteq U.$
• Tecknet för ett topologiskt utrymme $X$ i en punkt $\displaystyle x}$ { är kardinaliteten för den minsta lokala basen för $x.$ Tecknet för mellanslag $X$ är
  $$\chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.$$
  När $\chi (X)=\aleph _{0}$ sägs mellanrummet ${\displaystyle X} vara$ först räknebart .
• Densiteten $\operatorname {d} (X)$ för ett mellanslag $X$ är kardinaliteten för den minsta täta delmängden av $X.$ När ${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}} sägs$ mellanrummet $X$ vara separerbart .
• Lindelöf -talet $\operatorname {L} (X)$ för ett mellanslag $X$ är den minsta oändliga kardinaliteten så att varje öppet lock har en undercover av kardinalitet högst $\operatorname {L} (X).$ När ${\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}$ mellanslag $X$ sägs vara ett Lindelöf-rum .
• Cellulariteten eller Suslin-numret för ett mellanslag $\displaystyle X}$ { är

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}} är en familj av ömsesidigt$ disjunkta icke - tomma öppna delmängder av $X\}.$

• Den ärftliga cellulariteten (ibland kallad spridning ) är den minsta övre gränsen för cellulariteter i dess undermängder:
  $$s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c }}(Y):Y\subseteq X\}$$
  eller
  $$s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ med subrymdtopologin är diskret }}\}$$
  där "diskret" betyder att det är ett diskret topologiskt utrymme .

• Omfattningen av ett mellanslag $\displaystyle X}$ { är
  $$e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ är stängd och diskret}}\}.$$
  Så $X$ har en räknebar utsträckning exakt när den inte har någon oräknelig sluten diskret delmängd.
• Tätheten t $t(x,X)$ för ett topologiskt utrymme $X$ i en punkt $\displaystyle x\in X}$ är det minsta kardinaltalet ${\ displaystyle \alpha }$ så att, när $x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ för någon delmängd $Y$ av ${ \displaystyle X,}$ det finns en delmängd $Z$ av $Y$ med $|Z|\leq \alpha ,$ så att $x\in \operatörsnamn {cl} _{X}(Z).$ Symboliskt,
  $$t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\ }:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.$$
  Tätheten för ett mellanslag $X$ är
  $$t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.$$
  När $t(X)=\aleph _{0}$ sägs utrymmet ${\displaystyle X} vara$ räknat genererat eller countably sight .
  • Den ökade tätheten för ett mellanslag $X,$$t^{+}(X)$ är den minsta vanliga kardinal $\alpha$ så att för alla $Y\subseteq X,$$x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ det finns en delmängd $Z$ av $Y$ med kardinalitet mindre än $\alpha ,$ så att $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).$

Grundläggande ojämlikheter

$$c(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)\leq 2^{|X|}$$

$$e(X)\leq s(X)$$

$$\chi (X)\leq w(X)$$

$$\operatorname {nw} (X)\leq w(X){\text{ och }}o(X) \leq 2^{\operatörsnamn {nw} (X)}$$

Kardinalfunktioner i booleska algebror

Kardinalfunktioner används ofta i studiet av booleska algebror . Vi kan till exempel nämna följande funktioner:

• Cellularitet $c({\mathbb {B} })$ för en boolesk algebra ${\mathbb {B} }$ är det högsta av kardinaliteterna för antikedjor i ${\ mathbb {B} }$ .
• Längd ${\rm {längd}}({\mathbb {B} })$ av en boolesk algebra ${\mathbb {B} }$ är

${\displaystyle {\rm {längd}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }} är$ en kedja ${\big \}}$

• Djup ${\rm {djup}}({\mathbb {B} })$ av en boolesk algebra ${\ mathbb {B} }$ är

${\displaystyle {\rm {djup}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }} är$ en brunn -ordnad delmängd ${\big \}}$ .

• Ojämförbarhet ${\rm {Inc}}({\mathbb {B} })$ för en boolesk algebra ${\mathbb {B} }$ är

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }} så$ att ${\big (}\forall a,b\in A{\big )}{\big (} a\neq b\ \Högerpil \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}$ .

• Pseudovikt $\pi ({\mathbb {B} })$ av en boolesk algebra ${\mathbb {B} }$ är

$\pi ({\mathbb {B} })=\min {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }\setminus \{0\ }$ så att ${\big (}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big )}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.$

Kardinalfunktioner i algebra

Exempel på kardinalfunktioner i algebra är:

• Index för en undergrupp H av G är antalet coset .
• Dimensionen av ett vektorrum V över ett fält K är kardinaliteten för någon Hamel-bas för V .
• Mer allmänt, för en fri modul M över en ring R definierar vi rank ${\rm {rank}}(M)$ som kardinaliteten för vilken grund som helst för denna modul.
• För ett linjärt delrum W av ett vektorrum V definierar vi kodimensionen för W (med avseende på V ).
• För vilken algebraisk struktur som helst är det möjligt att överväga den minimala kardinaliteten hos strukturens generatorer .
• För algebraiska förlängningar används ofta algebraisk grad och separerbar grad (notera att den algebraiska graden är lika med dimensionen av förlängningen som ett vektorrum över det mindre fältet).
• För icke-algebraiska fältförlängningar används också transcendensgrad .

externa länkar

• En ordlista med definitioner från allmän topologi [1] [2]

Se även

• Cichońs diagram

•    Jech, Thomas (2003). Mängdteori . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7 . Zbl 1007.03002 .