Partitionstopologi

I matematik är partitionstopologin en topologi som kan induceras på vilken uppsättning ${\displaystyle X} som helst$ genom att partitionera $X$ i disjunkta delmängder $P;$ dessa delmängder utgör grunden för topologin. Det finns två viktiga exempel som har sina egna namn:

• Den udda-jämna topologin är topologin där $X=\mathbb {N}$ och ${\displaystyle P={\left\{~\{2k-1,2k\}:k\in \mathbb {N} \right\}}.} På motsvarande sätt$ är $P=\{~\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\ldots \}.$
• Den raderade heltalstopologin definieras genom att låta $X={\begin{matrix}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(n- 1,n)\subseteq \mathbb {R} \end{matris}}$ och $P={\left\{(0,1),(1,2),(2,3),\ldots \right\}}.$

De triviala partitionerna ger den diskreta topologin (varje punkt i $X$ är en uppsättning i $P,$ så $P=\{~\ {x\}~:~x\in X~\}$ ) eller indiskret topologi (hela uppsättningen $X$ är i $P,$ så $P= \{X\}$ ).

Varje uppsättning $X$ med en partitionstopologi genererad av en partition $P$ kan ses som ett pseudometriskt utrymme med en pseudometrisk given av:

$$d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ och }}y{\text{ är i samma partitionselement}}\\1&{\ text{annat}}.\end{case}}$$

Detta är inte ett mått om inte $P$ ger den diskreta topologin.

Partitionstopologin ger ett viktigt exempel på oberoende av olika separationsaxiom . Om inte $P$ är trivial, innehåller minst en uppsättning i $P$ mer än en punkt, och elementen i denna uppsättning är topologiskt omöjliga att skilja : topologin separerar inte punkter. Därför $X$ inte ett Kolmogorov-utrymme , inte heller ett T _1- mellanslag , ett Hausdorff-utrymme eller ett Urysohn-utrymme . I en partitionstopologi är komplementet till varje öppen uppsättning också öppen, och därför är en uppsättning öppen om och bara om den är stängd. Därför är $X$ reguljär , helt vanlig , normal och helt normal . $X/P$ är den diskreta topologin.

Se även

• Lista över topologier – Lista över konkreta topologier och topologiska rum

•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446