Geometrisk styvhet

För stel geometri, se Stelt analytiskt utrymme . För andra föreställningar om stelhet i geometri, se Mostows stelhet och stelhet (matematik) .

Inom diskret geometri är geometrisk styvhet en teori för att avgöra om ett geometriskt begränsningssystem (GCS) har finitely många $d$ -dimensionella lösningar, eller ramverk, i något metriskt utrymme . Ett ramverk för en GCS är stel i $d$ -dimensioner, för en given $d$ om det är en isolerad lösning av GCS, som tar hänsyn till mängden triviala rörelser, eller isometrisk grupp , av metriskt utrymme, t.ex. translationer och rotationer i euklidiskt utrymme . Med andra ord, ett stel ramverk $(G,p)$ av en GCS har inget närliggande ramverk av GCS som kan nås via en icke-trivial kontinuerlig rörelse av $(G,p)$ som bevarar begränsningarna för GCS. Strukturell stelhet är en annan teori om stelhet som rör generiska ramverk , dvs ramverk vars styvhetsegenskaper är representativa för alla ramverk med samma begränsningsgraf. Resultat i geometrisk styvhet gäller för alla ramverk; i synnerhet till icke-generiska ramverk.

Vänster: en generiskt stel graf i $\mathbb {R} ^{2}$ . Att tilldela kanten $(b,d)$ avståndet $0$ resulterar i en familj av icke-generiska flexibla stångfogsystem. Höger: en flexibel ram för ett sådant system.

Geometrisk styvhet undersöktes först av Euler , som antog att alla polyedrar i $3$ -dimensioner är stela. Mycket arbete har lagts ner på att bevisa gissningen, vilket har lett till många intressanta resultat som diskuteras nedan. Ett motexempel hittades dock så småningom. Det finns också några generiska styvhetsresultat utan kombinatoriska komponenter, så de är relaterade till både geometrisk och strukturell styvhet.

Definitioner

Definitionerna nedan, som kan hittas i, är med avseende på bar-joint-ramverk i $d$ -dimensionellt euklidiskt utrymme , och kommer att generaliseras för andra ramverk och metriska utrymmen efter behov. Betrakta en koppling $(G,\delta )$ , dvs en begränsningsgraf $G=(V,E)$ med avståndsbegränsningar $\delta$ tilldelad till dess kanter, och konfigurationsutrymmet ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ bestående av ramverk $(G,p)$ av $(G,\delta)$ . Ramverken i ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ består av kartor $p:V\rightarrow \mathbb {R} ^{d|V|}$ som uppfyller

$\|p(u)-p(v)\|^{2}=\delta _{uv},$

för alla kanter $(u,v)$ av $G$ . Med andra ord, $p$ är en placering av hörnen av $G$ som punkter i $d$ -dimensioner som uppfyller alla avståndsbegränsningar $\delta$ . Konfigurationsutrymmet ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ är en algebraisk mängd .

Kontinuerliga och triviala rörelser. En kontinuerlig rörelse är en kontinuerlig bana i ${C}}(G,\delta )}$$(G) ,\delta )$ som beskriver den fysiska rörelsen mellan två ramverk av som bevarar alla begränsningar. En trivial rörelse är en kontinuerlig rörelse som är resultatet av $d+1 \choose 2$ euklidiska isometrier , dvs translationer och rotationer. I allmänhet har varje metriskt utrymme en uppsättning triviala rörelser som kommer från den isometriska gruppen i utrymmet.

Lokal stelhet. Ett ramverk för en GCS är lokalt stel, eller bara stel, om alla dess kontinuerliga rörelser är triviala.

Att testa för lokal stelhet är co-NP svårt.

Stelhet karta. Styvhetskartan ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{d|V|}\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}} tar ett$ ramverk $(G,p)$ och matar ut de kvadratiska avstånden $\|p(u)-p(v)\|^{2}$ mellan alla par av punkter som är förbundna med en kant.

Styvhetsmatris. Jacobian , eller derivata , av stelhetskartan ger ett system av linjära ekvationer av formen

$(p(u)-p(v))\cdot (p'(v)- p'(u))=0,$

för alla kanter $(u,v)$ av $G$ . Styvhetsmatrisen $R(G,p)$ är en $|E|\times d|V|$ matris som kodar informationen i dessa ekvationer. Varje kant av $G$ motsvarar en rad med ${\displaystyle R(G,p)} och$${ \displaystyle R(G,p)}$ vertex motsvarar $d$ kolumner i . Raden som motsvarar kanten $(u,v)$ definieras enligt följande.

${\begin{ bmatrix}\,&\dots &{\text{kolumner för }}u&\dots &{\text{kolumner för }}v&\dots \\\vdots &\,&\,&\vdots &\,&\, \\{\text{rad för }}(u,v)&0\dots 0&p(u)-p(v)&0\dots 0&p(v)-p(u)&0\dots 0\\\vdots &\, &\,&\vdots &\,&\,\end{bmatrix}}$

Oändligt liten rörelse. En infinitesimal rörelse är en tilldelning $p':V\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ av hastigheter till hörnen av ett ramverk $(G ,p)$ så att $R(G,p)p'=0$ . Därför kärnan i styvhetsmatrisen utrymmet för oändliga rörelser. En trivial infinitesimal rörelse definieras analogt med en trivial kontinuerlig rörelse.

Påfrestning. En stress är en tilldelning $\omega :E\rightarrow \mathbb {R}$ till kanterna på ett ramverk $(G,p)$ . En stress är korrekt om dess poster är icke-negativa och är en självspänning om den uppfyller $\omega R(G,p)=0$ . En stress som uppfyller denna ekvation kallas också en lösbar stress, jämviktsspänning, förspänning eller ibland bara en stress.

Stressmatris. För en spänning $\omega$ applicerad på kanterna av ett ramverk $(G,p)$ med begränsningsgrafen $G=(V, E)$ , definiera $|V|\times |V|$ stressmatris $\Omega$ som

$\Omega _{uv}={\begin{cases}-\omega _{uv}&{\text{if }}u\neq v\\\summa _{v\in V}{\omega _{uv}}&{\text{annars}}\end{cases}}$ .

Det är lätt att verifiera att för två $p,q\in \mathbb {R} ^{d|V|}$ och eventuell stress $\omega$ ,

$\omega R(p)q=p^{T}\Omega q.$

Styvhetsmatrisen som en linjär transformation

Informationen i detta avsnitt finns i. Styvhetsmatrisen kan ses som en linjär transformation från $\mathbb {R} ^{d|V|}$ till $\mathbb {R} ^{|E|}$ . Domänen för denna transformation är mängden $1\times d|V|$ kolumnvektorer, kallade hastighets- eller förskjutningsvektorer, betecknade med $p'$ , och bilden är mängden $1\times |E|$ kantdistorsionsvektorer, betecknade med $e'$ . Inmatningarna av vektorn $p'$ är hastigheter som är tilldelade till hörnen i ett ramverk $(G,p)$ , och ekvationen $R(G,p)p'=e'$ beskriver hur kanterna komprimeras eller sträcks som ett resultat av dessa hastigheter.

Den dubbla linjära transformationen leder till en annan fysisk tolkning. Kodomänen för den linjära transformationen är mängden $1\times |E|$ kolumnvektorer, eller spänningar, betecknade med $\omega$ , som applicerar en stress $\omega _{uv}$ på varje kant $(u,v)$ av ett ramverk $(G,p)$ . Spänningen $\omega _{uv}$ applicerar krafter på hörnen av $(u,v)$ som är lika stora men motsatta i riktning, beroende på om $(u,v)$ komprimeras eller sträcks ut av $\omega _{uv}$ . Betrakta ekvationen $\omega ^{T}R(p)=f,$ f $\displaystyle f}$ är a $1\times d|V|$ vektor. Termerna till vänster som motsvarar $d$ -kolumnerna i en vertex $v$ i $R(p)$ ger posten i $f$ som är nettokraft $f_{v}$ applicerad på $v$ av spänningarna på kanter som faller in mot $v$ . Därför är domänen för den dubbla linjära transformationen uppsättningen av spänningar på kanter och bilden är uppsättningen nettokrafter på hörn. En nettokraft $f$ kan ses som att den kan motverka, eller lösa upp, kraften $-f$ , så bilden av den dubbla linjära transformationen är egentligen mängden lösbara krafter.

Förhållandet mellan dessa dubbla linjära transformationer beskrivs av arbetet som utförs av en hastighetsvektor $p'$ under en nettokraft $f$ :

$W=fp'=(\omega R(p))p'=\ omega (R(p)p')=\omega e',$

där $\omega$ är en stress och $e'$ är en kantförvrängning. När det gäller stressmatrisen blir denna ekvation ovan $W=p^{T}\Omega p'$ .

Typer av stelhet

Det här avsnittet tar upp de olika typerna av stelhet och hur de är relaterade. För mer information, se.

Stelhetshierarkin.

Oändligt liten stelhet

Infinitesimal stelhet är den starkaste formen av stelhet som begränsar ett ramverk från att tillåta även icke-triviala infinitesimala rörelser. Det kallas också första ordningens styvhet på grund av dess relation till styvhetsmatrisen. Mer exakt, betrakta de linjära ekvationerna

$(p(u)-p(v))\cdot (p'(u)-p '(v))=0$

resulterar från ekvationen $R(G,p)p'=0$ . Dessa ekvationer anger att projektionerna av hastigheterna $p'(u)$ och $p'(v)$ på kanten $( u,v)$ avbryta. Vart och ett av följande är påståenden är tillräckligt för att en $d$ -dimensionell ram ska vara oändligt stel i $d$ -dimensioner:

• alla dess oändliga rörelser är triviala;
• dimensionen för kärnan i $R(p)$ är $d+1 \choose 2$ ; eller
• rangordningen för $R(p)$ är $d|V|-{d+1 \choose 2}$ .

I allmänhet är vilken typ av ramverk som helst oändligt stel i $d$ -dimensioner om utrymmet för dess infinitesimala rörelser är utrymmet för triviala infinitesimala rörelser i det metriska rummet. Följande sats av Asimow och Roth relaterar oändlig stelhet och stelhet.

Sats. Om ett ramverk är oändligt stel, så är det stel.

Motsatsen till denna sats är inte sann i allmänhet; det är dock sant för generiska stela ramverk (med avseende på oändlig stelhet), se kombinatoriska karakteriseringar av generiskt stela grafer .

Statisk styvhet

En $d$ -dimensionell ram $(G,p)$ är statiskt stel i $d$ -dimensioner om varje kraftvektor $f$ på hörnen av $(G,p)$ som är ortogonal mot de triviala rörelserna kan lösas av nettokraften av någon riktig spänning $\omega$ ; eller skrivet matematiskt, för varje sådan kraftvektor $f$ finns det en riktig spänning $\omega$ så att

$f+\omega R(p)=0.$

måste rangordningen för ${\displaystyle R(p)} vara$$d|V|-{d+1 \choose 2}$ . Statisk styvhet är likvärdig med oändlig styvhet.

Andra ordningens styvhet

Andra ordningens styvhet är svagare än infinitesimal och statisk styvhet. Den andra derivatan av stelhetskartan består av formens ekvationer

$(p(u)-p(v))\cdot (p''(u)-p''(v))+(p'(u)-p'(v) )\cdot (p'(u)-p'(v))=0.$

Vektorn $p''$ tilldelar en acceleration till varje vertex i ett ramverk $(G,p)$ . Dessa ekvationer kan skrivas i termer av matriser: $R(p)p''=-R(p')p'$ , där $R(p')$ definieras på samma sätt som styvhetsmatrisen. Var och en av följande påståenden är tillräckliga för att en $d$ -dimensionell ram ska vara stel av andra ordningen i $d$ -dimensioner:

• varje lösningspar $(p',p'')$ till ekvationen ovan består av en trivial infinitesimal rörelse $p'$ ;
• för varje icke-trivial infinitesimal rörelse $p'$ finns det ingen acceleration $p''$ som uppfyller ekvationen ovan; eller
• $\omega ^{T}R (p')p'>0$ varje icke-trivial infinitesimal rörelse $p'$ finns det en viss jämviktsspänning $\omega$ så att .

Det tredje påståendet visar att för varje sådan $p'$ , ${\displaystyle R(p')p'} inte$$R (p)$ i kolumnspannet för , dvs det är inte en kantförvrängning som härrör från $p'$ . Detta följer av Fredholm-alternativet : eftersom kolumnspannet för $R(p)$ är ortogonalt mot kärnan i ${\displaystyle R(p)^{T}} ,$ dvs. uppsättningen av jämviktsspänningar, antingen $R(p)p''=-R(p')p'$ för viss acceleration $p''$ eller så finns det en jämviktsspänning $\omega$ som uppfyller det tredje villkoret. Det tredje villkoret kan skrivas i termer av stressmatrisen: $p'^{T}\Omega p'>0$ . Att lösa för $\omega$ är ett icke-linjärt problem i $p'$ utan någon känd effektiv algoritm.

Förspänningsstabilitet

Förspänningsstabilitet är svagare än infinitesimal och statisk styvhet men starkare än andra ordningens styvhet. Betrakta det tredje tillräckliga villkoret för andra ordningens styvhet. En $d$ -dimensionell ram $(G,p)$ är förspänningsstabil om det finns en jämviktsspänning $\omega$ så att för alla icke-triviala hastigheter $p'$ , $p'^{T}\Omega p'>0$ . Förspänningsstabilitet kan verifieras via semidefinite programmeringstekniker .

Global stelhet

En $d$ -dimensionell ram $(G,p)$ av en länkning $(G,\delta )$ är globalt stel i $d$ -dimensioner om alla ramverk i konfigurationsutrymmet ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ är ekvivalenta upp till triviala rörelser, dvs. är bara ett ramverk av $(G,\delta )$ .

Sats. Global stelhet är en generisk egenskap hos grafer.

Minimal styvhet

En $d$ -dimensionell ram $(G,p)$ är minimalt stel i $d$ -dimensioner om $(G,p)$ är stel och att ta bort eventuell kant från $(G,p)$ resulterar i ett ramverk som inte är stel.

Redundant styvhet

Det finns två typer av redundant stelhet: vertexredundant och kantredundant stelhet. En $d$ -dimensionell ram $(G,p)$ är kantredundant stel i $d$ -dimensioner om $(G, p)$ är stel och att ta bort eventuell kant från $(G,p)$ resulterar i ett annat stel ramverk. Vertex-redundant styvhet definieras analogt.

Styvhet för olika typer av ramverk

Polyedra

Detta avsnitt handlar om styvheten hos polyedrar i $3$ -dimensioner, se polyedriska system för en definition av denna typ av GCS. En polyeder är styv om dess underliggande stångledsramverk är styvt. Ett av de tidigaste resultaten för stelhet var en gissning av Euler 1766.

Gissa. En sluten rumslig figur tillåter inga förändringar, så länge den inte rivs isär.

Mycket arbete har lagts ner på att bevisa denna gissning, som nu har visat sig vara falsk genom motexempel. Det första stora resultatet är av Cauchy 1813 och är känt som Cauchys teorem .

Cauchys sats. Om det finns en isometri mellan ytorna på två strikt konvexa polyedrar som är en isometri på var och en av ytorna, då är de två polyedrarna kongruenta.

Det fanns mindre fel med Cauchys bevis. Det första fullständiga beviset gavs in, och ett något generaliserat resultat gavs i. Följande följd av Cauchys teorem relaterar detta resultat till stelhet.

En strikt konvex polyedrisk ram vars $2$ -skelett är stel.

Naturlig följd. 2-skelettet i en strikt konvex polyedrisk ram i $3$ -dimensioner är stel.

Med andra ord, om vi behandlar de konvexa polyedrarna som en uppsättning styva plattor, dvs som en variant av en kroppsstång-gångjärnsram, så är stommen stel. Nästa resultat, av Bricard 1897, visar att det strikta konvexitetsvillkoret kan släppas för $2$ -skelett av oktaedern .

Sats. 2 $2$ -skelettet i varje polyedriskt ramverk av oktaedern i $\displaystyle 3}$ -dimensioner är stel. Det finns dock ett ramverk av oktaedern vars $1$ -skelett inte är stel i $3$ -dimensioner.

Beviset för den senare delen av denna sats visar att dessa flexibla ramverk existerar på grund av självkorsningar. Framstegen enligt Eurlers gissningar tog inte fart igen förrän i slutet av 1800-talet. Nästa sats och följden gäller triangulerade polyedrar.

Sats. Om hörn infogas i kanterna på en strikt konvex polyeder och ytorna trianguleras, så är $1$ -skelettet för den resulterande polyedern oändligt styvt.

Naturlig följd. Om en konvex polyeder i $3$ -dimensioner har egenskapen att samlingen av ytor som innehåller en given vertex inte alla ligger i samma plan, då är $2$ -skelettet i den polyedern oändligt styvt .

Följande resultat visar att trianguleringsvillkoret i ovanstående sats är nödvändigt.

Sats. 1 $1$ -skelettet av en strikt konvex polyeder inbäddad i $\displaystyle 3}$ -dimensioner som har minst en icke-triangulär yta är inte stel.

Följande gissningar utvidgar Cauchys resultat till mer allmänna polyedrar.

Gissa. Två kombinatoriskt ekvivalenta polyedrar med lika motsvarande dihedriska vinklar är isogonala .

Denna gissning har bevisats för vissa speciella fall. Nästa resultat gäller i den generiska miljön, dvs för nästan alla polyedrar med samma kombinatoriska struktur, se strukturell stelhet .

Sats. Varje sluten enkelt ansluten polyedrisk yta med en $3$ -dimensionell ram är generiskt stel.

Detta teorem visar att Eulers gissning är sann för nästan alla polyedrar. Emellertid hittades en icke-generisk polyeder som inte är stel i $3$ -dimensioner, vilket motbevisar gissningen. Denna polyedra är topologiskt sett en sfär, vilket visar att det generiska resultatet ovan är optimalt. Detaljer om hur man konstruerar denna polyedra finns i. En intressant egenskap hos denna polyedra är att dess volym förblir konstant längs vilken kontinuerlig rörelsebana som helst, vilket leder till följande gissning.

Bälgförmodan. Varje orienterbar sluten polyedrisk yta böjs med konstant volym.

Denna gissning bevisades först för sfäriska polyedrar och sedan i allmänhet.

Tensegriteter

Det här avsnittet handlar om styvheten hos tensegriteter , se tensegrity-system för en definition av denna typ av GCS.

Definitioner

Definitionerna nedan finns i.

Oändligt liten rörelse. En oändlig rörelse av ett tensegrity-ramverk $(G,p)$ är en hastighetsvektor $p':V\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ så att för varje kant $(u,v)$ av ramverket,

• $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})= 0$ , om $(u,v)$ är en stapel;
• $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})\ leq 0$ , om $(u,v)$ är en kabel; och
• $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})\ geq 0$ , om $(u,v)$ är en strut.

Andra ordningens rörelse. En andra ordningens rörelse av ett tensegrity-ramverk $(G,p)$ är en lösning $(p',p'')$ på följande begränsningar:

• Stapelbegränsning: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v })=0$ och $\|p'_{u}-p'_ {v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p''_{v})=0$ ;
• Kabelbegränsning: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v })=0$ och $\|p'_{u}-p_{v} \|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\leq 0$ eller $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})<0$ ; och
• Kabelbegränsning: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v })=0$ och $\|p'_{u}-p_{v} \|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\geq 0$ eller $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})>0$ .

Global stelhet. ' En $d$ -dimensionell tensegrity framework $(G,p)$ av en tensegrity GCS är globalt stel i $d$ -dimensioner om varannan $d$ -dimensionell ram $(G,q)$ av samma GCS som domineras av $(G,p)$ kan erhållas via en trivial rörelse av $(G,p)$ .

Universell styvhet. En $d$ -dimensionell tensegrity framework $(G,p)$ för en tensegrity GCS är universellt stel om den är globalt stel i någon dimension.

Dimensionell styvhet. En $d$ -dimensionell tensegrity framework $(G,p)$ av en tensegrity GCS är dimensionell stel i $d$ -dimensioner om någon annan $D$ -dimensionell tensegrity framework $(G,q)$ , för alla $D$ som uppfyller GCS:ns begränsningar, har en affin dimensionsspann som mest $d$ .

Super stabil. En $d$ -dimensionell tensegrity framework $(G,p)$ är superstabil i $d$ -dimensioner if är stel i $d$ -dimensions as ett stångledsramverk och har en korrekt jämviktsspänning $\omega$ så att spänningsmatrisen $\Omega$ är positiv semidefinitiv och har rang $|V|-d-1$ .

Rigiditetssatser

Generiska resultat.

Oändlig styvhet är inte en generisk egenskap hos tensegrities, se strukturell styvhet . Med andra ord, inte alla generiska tensegriteter med samma begränsningsgraf har samma oändliga styvhetsegenskaper. Därför har en del arbete lagts ned på att identifiera specifika klasser av grafer för vilka oändlig styvhet är en generisk egenskap hos spänningar. Grafer som uppfyller detta villkor kallas starkt stela. Att testa en graf för stark styvhet är NP-svårt, även för $1$ -dimension. Följande resultat likställer generisk redundant styvhet hos grafer med oändligt mycket stela tensegriteter.

Sats. En graf $G$ har en oändligt styv spänningsram i $d$ -dimensioner, för viss uppdelning av kanterna på $G$ i stänger, kablar och strävor om och endast om ${ \displaystyle G}$ är generiskt kant-redundant stel i $d$ -dimensioner.

Två oändligt styva spänningar med sina strävor (markerade kanter) och kablar (streckade kanter) ombytta.

Det första resultatet visar när stelhet och oändlig styvhet hos tensegrities är likvärdiga.

Sats. Låt $(G,p)$ vara en $d$ -dimensionell tensegrity-ramverk där: hörnen av $G$ realiseras som en strikt konvex polygon; staplarna bildar en Hamilton-cykel på gränsen för denna polygon; och det finns inga strävor. Då $(G,p)$ stel i $d$ -dimensioner om och endast om den är oändligt stel i $d$ -dimensioner.

Följande är ett nödvändigt villkor för styvhet.

Sats. Låt $(G,p)$ vara en $d$ -dimensionell tensegrity-ram med minst en kabel eller stötta. Om $(G,p)$ är stel i $d$ -dimensioner, så har den en korrekt jämviktsspänning som inte är noll.

Styvhet av tensegriteter kan också skrivas i termer av stång-joint-ramverk enligt följande.

Sats. Låt $(G,p)$ vara en $d$ -dimensionell tensegrity-ram med minst en kabel eller stötta. Då $(G,p)$ oändligt styv i $d$ -dimensioner om den är stel i $d$ -dimensioner som en bar-joint ram och har en strikt ordentlig stress.

Följande är ett tillräckligt villkor för andra ordningens styvhet.

Sats. Låt $(G,p)$ vara en $d$ -dimensionell tensegrity-ramverk. Om för alla icke-triviala infinitesimala rörelser $p'$ av $(G,p)$ , finns det en korrekt jämviktsspänning $\omega$ så att

$\sum _{u,v\in V}\omega _{uv} (p'_{u}-p'_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})>0,$

då är $(G,p)$ andra ordningens stel.

En intressant tillämpning av tensegrities är i sfärförpackningar i polyedriska behållare. En sådan packning kan modelleras som en tensegritet med strävor mellan par av tangentsfärer och mellan behållarens gränser och sfärerna som tangerar dem. Denna modell har studerats för att beräkna lokala maximala tätheter för dessa packningar.

Nästa resultat visar när tensegrity-ramverk har samma jämviktsspänningar.

Sats. Låt $(G,p)$ vara ett $d$ -dimensionell tensegrity-ramverk med en korrekt spänning $\omega$ så att spänningsmatrisen $\Omega$ är positiv semidefinitiv . Sedan $\omega$ en korrekt spänning av alla $d$ -dimensionella tensegrity-ramverk som domineras av $(G,p)$ .

Globala styvhetsteorem

Följande är ett tillräckligt villkor för global stelhet hos generiska tensegrity-ramverk baserade på stressmatriser.

Sats. Låt $(G,p)$ vara ett $d$ -dimensionellt generiskt tensegrity-ramverk med en korrekt jämviktsspänning $\omega$ . Om stressmatrisen $\Omega$ har rang $|V|-d-1$ , då $(G,p)$ är globalt stel i $d$ dimensioner.

Även om denna sats är för den generiska miljön, erbjuder den inte en kombinatorisk karaktärisering av generisk global stelhet, så den är inte riktigt ett resultat av strukturell stelhet .

Universell och dimensionell styvhet

Låt $(G,p)$ vara ett $d$ -dimensionellt generiskt tensegrity-ramverk, så att det affina spannet för $p$ är $\mathbb { R} ^{d}$ , med en korrekt jämviktsspänning $\omega$ och spänningsmatrisen $\Omega$ . En ändlig uppsättning vektorer som inte är noll i $\mathbb {R} ^{d}$ ligger på en kägel i oändligheten om, behandlar dem som punkter i $(d-1)$ -dimensionellt projektivt utrymme, de ligger på en kon. Tänk på följande tre påståenden:

1. $\Omega$ är positiv semidefinit.
2. $rank(\Omega )=|V|-d-1$ .
3. Kantriktningarna för $(G,p)$ med en spänning som inte är noll, och staplar, ligger inte på en kon i oändligheten.

Om påståenden 1 och 2 gäller, så är $(G,p)$ dimensionsstyv i $d$ -dimensioner, och om påstående 3 också gäller, då ${\ displaystyle (G,p)}$ är universellt stel i $d$ -dimensioner.