Fri faktor komplex

Inom matematiken är det fria faktorkomplexet (ibland även kallat komplexet av fria faktorer ) en fri gruppmotsvarighet till föreställningen om kurvkomplexet för en yta av ändlig typ. Det fria faktorkomplexet introducerades ursprungligen i en uppsats från 1998 av Allen Hatcher och Karen Vogtmann . Liksom kurvkomplexet är det fria faktorkomplexet känt för att vara Gromov-hyperboliskt . Det fria faktorkomplexet spelar en betydande roll i studiet av storskalig geometri för $\operatorname {Out} (F_{n})$ .

Formell definition

För en fri grupp ${\displaystyle G} är$ en korrekt fri faktor för $G$ en undergrupp $A\leq G$ så att $A \neq \{1\},A\neq G$ och att det finns en undergrupp $B\leq G$ så att $G=A\ast B$ .

Låt $n\geq 3$ vara ett heltal och låt $F_{n}$ vara den fria gruppen av rang $n$ . Det fria faktorkomplexet ${\mathcal {F}}_{n}$ för $F_{n}$ är ett enkelt komplex där:

(1) 0-cellerna är konjugationsklasserna i F $\displaystyle F_{n}}$ av korrekta fria faktorer för $F_{n}$ , dvs.

${\mathcal {F}}_{n}^{(0)}=\{[A]|A\leq F_{n}{\text{ är en korrekt fri faktor av }}F_{n} \}.$

(2) För ${\displaystyle k\geq 1} är$ a $k$ -simplex i ${\mathcal {F}}_{n}$ en samling av $k+1$ distinkta 0-celler $\{v_{0},v_{1},\dots ,v_{k}\ }\subset {\mathcal {F}}_{n}^{(0)}$ så att det finns fria faktorer $A_{0},A_{1},\ prickar ,A_{k}$ av $F_{n}$ så att $v_{i}=A_{i}$ för $i=0,1,\dots ,k$ , och att $A_{0}\leq A_{1}\leq \dots \leq A_{k}$ . [Antagandet att dessa 0-celler är distinkta innebär att $A_{i}\neq A_{i+1}$ för $i =0,1,\dots ,k-1$ ]. I synnerhet är en 1-cell en samling $\{[A],[B]\}$ av två distinkta 0-celler där $A,B\leq F_{n}$ är korrekta fria faktorer för $F_{n}$ så att $A\lneq B$ .

För $n=2$ ger ovanstående definition ett komplex utan $k$ -celler med dimensionen $k\geq 1$ . Därför definieras ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}} något annorlunda.$ Man definierar fortfarande ${\mathcal {F}}_{2}^{(0)}$ som uppsättningen av konjugationsklasser av korrekta fria faktorer av $F_{2}$ ; (sådana fria faktorer är nödvändigtvis oändliga cykliska). Två distinkta 0-simplicerar $\{v_{0},v_{1}\}\subset {\mathcal {F}}_{2}^{(0) }$ bestäm en 1-simplex i ${\mathcal {F}}_{2}$ om och endast om det finns en fri bas $a,b$ av $F_{2}$ så att $v_{0}=[\langle a\rangle ],v_{1}=[\langle b\rangle ]$ . Det komplexa ${\mathcal {F}}_{2}$ har inga $k$ -celler med dimensionen $k\geq 2$ .

För $n\geq 2$ kallas 1-skelettet ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}^{(1)}} den$ fria faktorgrafen för $F_{n}$ .

Huvudegenskaper

• För varje heltal ${\displaystyle n\geq 3} är$ det komplexa ${\mathcal {F}}_{n}$ anslutet, lokalt oändligt, och har dimensionen $n- 2$ . Den komplexa ${\mathcal {F}}_{2}$ är ansluten, lokalt oändlig och har dimension 1.
• För ${\displaystyle n=2} är$ grafen ${\mathcal {F}}_{2}$ isomorf mot Farey-grafen .
• Det finns en naturlig verkan av $\operatorname {Out} (F_{n})$ på ${\mathcal {F}}_{n}$ av enkla automorfismer. För en k -simplex $\Delta =\{[A_{0}],\dots ,[A_{k}]\}$ och $\varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ man har ${\ displaystyle \varphi \Delta :=\{[\varphi (A_{0})],\dots ,[\varphi (A_{k})]\}}$ .
• För $n\geq 3$ har det komplexa ${\mathcal {F}}_{n}$ homotopitypen av en kil av sfärer med dimension $n- 2$ .
• För varje heltal $n\geq 2$ , den fria faktorgrafen ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}^{(1)}} ,$ utrustad med den enkla metrisk (där varje kant har längd 1), är en sammankopplad graf med oändlig diameter.
• För varje heltal $n\geq 2$ , den fria faktorgrafen ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}^{(1)}} ,$ utrustad med den enkla metrisk, är Gromov-hyperbolisk . Detta resultat etablerades ursprungligen av Mladen Bestvina och Mark Feighn; se även för efterföljande alternativa bevis.
• Ett element $\displaystyle \varphi \in \operatorname {Out} (F_{n})}$$) {\displaystyle {\mathcal {F}} _{n}^{(1)}}$ fungerar som en loxodromisk isometri för om och endast om $\varphi$ är helt irreducerbar .
• Det finns en grov Lipschitz grovt $\operatorname {Out} (F_{n})$ -ekvivariant grovt surjektiv karta ${\mathcal {FS} }_{n}\to {\mathcal {F}}_{n}^{(1)}$ , där ${\mathcal {FS}}_{n}$ är det fria delningskomplexet . Denna karta är dock inte en kvasi-isometri . Det fria klyvningskomplexet är också känt för att vara Gromov-hyperboliskt , vilket bevisades av Handel och Mosher.
• På liknande sätt finns det en naturlig grov Lipschitz grovt $\operatorname {Out} (F_{n})$ -ekvivariant grovt surjektiv karta $CV_{n }\to {\mathcal {F}}_{n}^{(1)}$ , där $CV_{n}$ är (volym-ettorna normaliserade) Culler–Vogtmann yttre rymden , utrustad med den symmetriska Lipschitz-metriken. Kartan $\pi$ tar en geodesisk bana i $CV_{n}$ till en bana i ${\mathcal {F}}F_{n}$ som finns i en enhetlig Hausdorff-kvarter i geodetiken med samma ändpunkter.
• Den hyperboliska gränsen $\partial {\mathcal {F}}_{n}^{(1)}$ för den fria faktorgrafen kan identifieras med uppsättningen av ekvivalensklasser av "arational" $F_{n}$ -träd i gränsen $\partial CV_{n}$ för det yttre rymden $CV_{n}$ .
• Det fria faktorkomplexet är ett nyckelverktyg för att studera beteendet för slumpmässiga promenader på $\operatorname {Out} (F_{n})$ och för att identifiera Poisson-gränsen för $\operatorname {Out} (F_{n})$ .

Andra modeller

Det finns flera andra modeller som producerar grafer grovt $) {\displaystyle {\mathcal {F} }_{n}^{(1)}}$$\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}$ -ekvivariant kvasi-isometrisk till . Dessa modeller inkluderar:

• Grafen vars vertexuppsättning är ${\mathcal {F}}_{n}^{0}$ och där två distinkta hörn $v_{0},v_{1}$ är intill om och endast om det finns en fri produktnedbrytning $F_{n}=A\ast B\ast C$ så att $v_{0}= [A]$ och $v_{1}=[B]$ .
• Den fria basgrafen vars vertexuppsättning är mängden av $F_{n}$ -konjugationsklasser av fria baser av ${\displaystyle F_{n}} ,$ och där två hörn $v_{0},v_{1}$ är angränsande om och endast om det finns fria baser ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ av $F_{ n}$ så att $v_{0}=[{\mathcal {A}}],v_{1}=[{\mathcal {B}}]$ och ${\mathcal {A}}\cap {\mathcal {B}}\neq \varnothing$ .

Se även

• Kartläggning av klassgrupp