Freund–Rubin kompaktering

Freund–Rubin-komprimering är en form av dimensionsreduktion där en fältteori i d -dimensionell rumtid , innehållande gravitation och något fält vars fältstyrka $F$ är en rangs antisymmetrisk tensor , "föredrar" att reduceras till en rumtid med dimensionen antingen s eller ds .

Härledning

Betrakta generell relativitetsteori i d rumtidsdimensioner. I närvaro av ett antisymmetriskt tensorfält (utan externa källor), är Einsteins fältekvationer och rörelseekvationerna för den antisymmetriska tensorn

${\begin{aligned}R^{\mu \nu}-{\frac {1}{2}}Rg^{\mu \nu }=8\pi T^{\mu \nu },~~~~\nabla _{\mu }F^{\mu \,\alpha _{2}...\alpha _{s}}=0\end{aligned}}$

Där stress-energi-tensorn tar formen

$T^{\mu \nu }=F_{\alpha _{1}...\alpha _{s-1}}~^{\mu }F^{\alpha _{ 1}...\alpha _{s-1}\nu }-{\frac {1}{2s}}F_{\alpha _{1}...\alpha _{s}}F^{\alpha _{1}...\alpha _{s}}g^{\mu \nu }$

Eftersom fältstyrkan F {\displaystyle F} är en antisymmetrisk $, har$ fältstyrkan F {\displaystyle F} en naturlig ansatz för sin lösning, proportionell mot Levi-Civita-tensorn på något s - dimensionellt grenrör .

$F^{\mu _{1}...\mu _{s}}=(\epsilon ^{\mu _{1 }...\mu _{s}}/{\sqrt {g_{s}}})f$

Här löper indexen $\mu _{i}$ över s av dimensionerna för den omgivande d -dimensionella rumtiden, $g_{s}$ är determinanten för måttet för denna s - dimensionellt delrum, och $f$ är någon konstant med dimensioner av masskvadrat (i naturliga enheter ) .

Eftersom fältstyrkan endast är lika med noll på ett s -dimensionellt undergrenrör, är måttet $g$ naturligt separerat i två delar, av blockdiagonal form

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}g_{mn}(x^{p} )&0\\0&g_{{\bar {m}}{\bar {n}}}(x^{\bar {p}})\end{bmatrix}}$

med $m$ , $n$ och $p$ som sträcker sig över samma s dimensioner som fältstyrkan $F$ , och ${\bar {m }}$ , ${\bar {n}}$ och ${\bar {p}}$ som täcker de återstående ds- dimensionerna. Efter att ha separerat vårt d -dimensionella rymd i produkten av två delrum, tillåter Einsteins fältekvationer oss att lösa krökningen av dessa två delrör, och vi finner

${\begin{aligned}R_{ds}&={\frac {(s-1)(ds)}{(d-2)}}\lambda ,~~R_{s}=- {\frac {s(ds-1)}{(d-2)}}\lambda \\\lambda &=8\pi G\operatörsnamn {sgn}(g_{s})f^{2}\end{ Justerat}}$

Vi finner att Ricci-kurvaturerna för de s - och (ds) -dimensionella undergrenrören nödvändigtvis är motsatta i tecken. Den ena måste ha positiv krökning och den andra måste ha negativ krökning , och därför måste en av dessa grenrör vara kompakt . Följaktligen, vid skalor som är betydligt större än den för det kompakta grenröret, verkar universum ha antingen s- eller (ds) -dimensioner, i motsats till den underliggande d .

Som ett viktigt exempel på detta innehåller 11D-Supergravity en 3-forms antisymmetrisk tensor med en 4-forms fältstyrka, och föredrar följaktligen att komprimera 7 eller 4 av dess rymdliknande dimensioner, så den storskaliga rymdtiden måste vara antingen 4 eller 7 dimensionell, varav den förra är attraktiv ur ett fenomenologiskt perspektiv

Perspektiv från strängteorin

Några viktiga exempel på Freund-Rubin-komprimering kommer från att titta på beteendet hos braner i strängteorin . I likhet med hur kopplingen till det elektromagnetiska fältet stabiliserar elektriskt laddade partiklar, stabiliserar närvaron av antisymmetriska tensorfält av olika rang i en strängteori branar av olika dimensioner. I sin tur blir geometrin för rumtiden nära travar av kliar skev på ett sådant sätt att Freund–Rubin-komprimering realiseras. I typ II-B strängteori , som kräver tio rumtidsdimensioner, finns det en femformsfältstyrka $F_{5}$ som tillåter tredimensionella D-braner och geometrin nära horisonten för en stapel med D3-branes är femdimensionellt Anti-de Sitter-utrymme gånger en femdimensionell sfär , $AdS_{5}\times S^{5}$ , som är kompakt i fem dimensioner. Denna geometri är en viktig del av AdS/CFT-korrespondensen.

På liknande sätt innehåller M-teorin och dess låga energigräns på 11D-Supergravity en fältstyrka i fyra former, som stabiliserar M2- och M5-branerna. Närhorisontens geometri för stackar av dessa branar är $AdS_{4}\times S^{7}$ och $AdS_{7}\times S ^{4}$ , respektive.