Fettsvansfördelning

En fettsvansfördelning är en sannolikhetsfördelning som uppvisar en stor skevhet eller kurtos , i förhållande till antingen en normalfördelning eller en exponentiell fördelning . I allmänt bruk är termerna fettsvansad och tungsvansad ibland synonyma; fat-tailed definieras ibland också som en delmängd av heavy-tailed. Olika forskarsamhällen gynnar det ena eller det andra till stor del av historiska skäl, och kan ha skillnader i den exakta definitionen av båda.

Fettsvansfördelningar har empiriskt påträffats inom en mängd olika områden: fysik , geovetenskap, ekonomi och statsvetenskap. Klassen av fettsvansfördelningar inkluderar de vars svansar förfaller som en maktlag , vilket är en vanlig referenspunkt i deras användning i den vetenskapliga litteraturen. Emellertid inkluderar fettsvansfördelningar även andra långsamt sönderfallande distributioner, såsom log-normal .

Extremfallet: en maktlagsfördelning

Det mest extrema fallet med en fet svans ges av en fördelning vars svans sönderfaller som en maktlag .

En mängd olika Cauchy-distributioner för olika plats- och skalparametrar. Cauchy-fördelningar är exempel på fettsvansfördelningar.

Det vill säga om den komplementära kumulativa fördelningen av en slumpvariabel X kan uttryckas som ^{[ citat behövs ]}

\Pr[X>x]\sim x^{-\alpha }{\text{ som }}x\till \infty ,\qquad \alpha >0.\,

då sägs fördelningen ha en fet svans om $\alpha <2$ . För sådana värden är variansen och snedheten hos svansen matematiskt odefinierade (en speciell egenskap hos maktlagsfördelningen), och därmed större än någon normal- eller exponentiell fördelning. För värden på $\alpha >2$ är påståendet om en fet svans mer tvetydigt, eftersom i detta parameterintervall kan variansen, skevheten och kurtosen vara ändlig, beroende på det exakta värdet av $\alpha$ , och därmed potentiellt mindre än en normal eller exponentiell svans med hög varians. Denna oklarhet leder ofta till oenighet om exakt vad som är eller inte är en fettsvansad fördelning. För ${\displaystyle k>\alpha -1} är$ momentet $k^{th}$ oändligt, så för varje potenslagsfördelning är vissa moment odefinierade.

Notera: här hänvisar tildenotationen " $\sim$ " till den asymptotiska ekvivalensen av funktioner , vilket betyder att deras förhållande tenderar till en konstant. Med andra ord, asymptotiskt, avtar fördelningens svans som en maktlag. ^{[ citat behövs ]}

Fettsvansar och riskbedömningsförvrängningar

Lévy-flykt från en Cauchy-fördelning jämfört med Brownsk rörelse (nedan). Centrala händelser är vanligare och sällsynta händelser mer extrema i Cauchy-fördelningen än i Brownsk rörelse. En enskild händelse kan omfatta 99 % av den totala variationen, därav den "odefinierade variansen".

Lévy flykt från en normalfördelning ( Brownsk rörelse ) .

Jämfört med fettsvansfördelningar, i normalfördelningen har händelser som avviker från medelvärdet med fem eller fler standardavvikelser ("5-sigma-händelser") lägre sannolikhet, vilket innebär att extrema händelser i normalfördelningen är mindre sannolika än för fett- svansfördelningar. Fettsvansfördelningar som Cauchy-fördelningen (och alla andra stabila distributioner med undantag för normalfördelningen ) har "odefinierad sigma" (mer tekniskt sett är variansen odefinierad).

Som en konsekvens, när data härrör från en underliggande fettsvansfördelning, skulle skohorning i "normalfördelnings"-modellen för risk – och uppskattning av sigma baserat (nödvändigtvis) på en begränsad urvalsstorlek – underskatta den verkliga graden av prediktiv svårighet (och av risk). Många – särskilt Benoît Mandelbrot såväl som Nassim Taleb – har noterat denna brist i normalfördelningsmodellen och har föreslagit att fettsvansfördelningar som de stabila fördelningarna styr tillgångsavkastningen som ofta förekommer inom finans .

Black –Scholes modell för optionsprissättning är baserad på en normalfördelning. Om fördelningen faktiskt är en fet-tailed kommer modellen att underprisa alternativ som är långt borta, eftersom en 5- eller 7-sigma-händelse är mycket mer sannolikt än normalfördelningen skulle förutsäga.

Tillämpningar inom ekonomi

Inom ekonomi förekommer ofta feta svansar men anses vara oönskade på grund av den extra risk de innebär. Till exempel kan en investeringsstrategi ha en förväntad avkastning efter ett år, det vill säga fem gånger dess standardavvikelse. Om man antar en normalfördelning är sannolikheten för dess misslyckande (negativ avkastning) mindre än en på en miljon; i praktiken kan det vara högre. Normalfördelningar som uppstår inom finans gör det i allmänhet eftersom de faktorer som påverkar en tillgångs värde eller pris är matematiskt "väluppfostrade", och den centrala gränssatsen ger en sådan fördelning. Men traumatiska "verkliga" händelser (som en oljechock, en stor företagskonkurs eller en abrupt förändring i en politisk situation) är vanligtvis inte matematiskt väluppfostrade .

Historiska exempel inkluderar Wall Street-kraschen 1929 , Black Monday (1987) , Dot-com-bubblan , finanskrisen från slutet av 2000-talet , snabbkraschen 2010 , börskraschen 2020 och frikopplingen av vissa valutor.

Fettsvansar i marknadsavkastningsfördelningar har också ett visst beteendemässigt ursprung (överdriven optimism hos investerare eller pessimism som leder till stora marknadsrörelser) och studeras därför inom beteendefinansiering .

Inom marknadsföring är den välbekanta 80-20-regeln som ofta hittas (t.ex. "20% av kunderna står för 80% av intäkterna") en manifestation av en fettsvansfördelning som ligger till grund för data.

De "fetta svansarna" observeras också på råvarumarknader eller i skivindustrin , särskilt på fonografiska marknader . Sannolikhetstäthetsfunktionen för logaritm av veckopostförsäljningsförändringar är mycket leptokurtisk och kännetecknas av ett smalare och större maximum, och av en fetare svans än i normalfördelningsfallet. Å andra sidan har denna distribution bara en fet svans förknippad med en ökning av försäljningen på grund av marknadsföring av de nya rekorden som kommer in på listorna.

Se även

externa länkar